개념 해석 · Concepts

NOTE 수치표로 본 두 극한 A Numerical ComparisonTable 1–2 · p.989–990
한국어

두 함수 $f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ 와 $g(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 가 $(x,y)\to(0,0)$일 때, 즉 점 $(x,y)$가 원점에 가까워질 때 어떻게 움직이는지 비교해 보자. 두 함수 모두 원점에서는 정의되지 않으므로, 아래 표에는 원점 근방의 값만을 소수점 아래 셋째 자리까지 적었다.

표 1 · $f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ 의 값 (소수점 아래 셋째 자리까지)
$x$$y$
−1.0−0.5−0.200.20.51.0
−1.00.4550.7590.8290.8410.8290.7590.455
−0.50.7590.9590.9860.9900.9860.9590.759
−0.20.8290.9860.9991.0000.9990.9860.829
00.8410.9901.000—1.0000.9900.841
0.20.8290.9860.9991.0000.9990.9860.829
0.50.7590.9590.9860.9900.9860.9590.759
1.00.4550.7590.8290.8410.8290.7590.455
표 2 · $g(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 의 값 (소수점 아래 셋째 자리까지)
$x$$y$
−1.0−0.5−0.200.20.51.0
−1.00.0000.6000.9231.0000.9230.6000.000
−0.5−0.6000.0000.7241.0000.7240.000−0.600
−0.2−0.923−0.7240.0001.0000.000−0.724−0.923
0−1.000−1.000−1.000—−1.000−1.000−1.000
0.2−0.923−0.7240.0001.0000.000−0.724−0.923
0.5−0.6000.0000.7241.0000.7240.000−0.600
1.00.0000.6000.9231.0000.9230.6000.000

어느 표든 가운데로 갈수록, $f$의 값은 $1$ 근처로 모이는 반면 $g$의 값은 어느 한 수로도 모이지 않는다. 한 축을 따라가면 $1$에 가까워지고 다른 축을 따라가면 $-1$에 가까워진다. 이 두 수치적 추측은 실제로 모두 옳으며, 이 절의 나머지 부분에서 이를 증명한다.

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$$
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\text{는 존재하지 않는다.}$$
English

Compare the behavior of the two functions

$$f(x,y)=\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$$
$$g(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$$

as $x$ and $y$ both tend to $0$, that is, as the point $(x,y)$ approaches the origin. Neither function is defined at the origin, so the tables below record values at nearby points only, rounded to three decimal places.

Table 1 · Values of $f(x,y)=\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$
$x$$y$
−1.0−0.5−0.200.20.51.0
−1.00.4550.7590.8290.8410.8290.7590.455
−0.50.7590.9590.9860.9900.9860.9590.759
−0.20.8290.9860.9991.0000.9990.9860.829
00.8410.9901.000—1.0000.9900.841
0.20.8290.9860.9991.0000.9990.9860.829
0.50.7590.9590.9860.9900.9860.9590.759
1.00.4550.7590.8290.8410.8290.7590.455
Table 2 · Values of $g(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
$x$$y$
−1.0−0.5−0.200.20.51.0
−1.00.0000.6000.9231.0000.9230.6000.000
−0.5−0.6000.0000.7241.0000.7240.000−0.600
−0.2−0.923−0.7240.0001.0000.000−0.724−0.923
0−1.000−1.000−1.000—−1.000−1.000−1.000
0.2−0.923−0.7240.0001.0000.000−0.724−0.923
0.5−0.6000.0000.7241.0000.7240.000−0.600
1.00.0000.6000.9231.0000.9230.6000.000

Reading either table toward its centre, the values of $f$ crowd around $1$, while the values of $g$ settle on no single number at all: they stay near $1$ along one axis and near $-1$ along the other. Both numerical guesses are in fact correct, and the rest of the section proves them:

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$$
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\ \text{does not exist.}$$
DEF 2 이변수함수의 극한 (ε-δ) Limit of a Function of Two VariablesDefinition 1 · p.990
한국어

표기

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$

은 직관적으로, $(x,y)$를 $(a,b)$에—단 $(a,b)$와 같지는 않게—충분히 가깝게 잡으면 $f(x,y)$를 원하는 만큼 $L$에 가깝게 만들 수 있다는 뜻이다. 이를 엄밀하게 정의하면 다음과 같다.

정의 1. 정의역 $D$가 $(a,b)$에 임의로 가까운 점들을 포함하는 이변수함수 $f$가 있다고 하자. 이때 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$이란, 모든 수 $\varepsilon\gt 0$에 대해 어떤 수 $\delta\gt 0$이 존재하여

$$(x,y)\in D\ \text{이고}\ 0\lt\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(x,y)-L|\lt\varepsilon$$

을 만족시킨다는 뜻이다.

$D$가 $(a,b)$에 임의로 가까운 점들을 포함해야 한다는 조건이 이 정의를 공허하지 않게 만든다. $(a,b)$ 자신은 $D$에 속하지 않아도 된다.

English

Informally, the notation

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$$

says that $f(x,y)$ can be forced as close to $L$ as one likes by taking $(x,y)$ in the domain of $f$ close enough to $(a,b)$ — but never equal to $(a,b)$. Made precise:

Definition 1. Let $f$ be a function of two variables whose domain $D$ contains points arbitrarily close to $(a,b)$. Then $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$ means: for every number $\varepsilon\gt 0$ there is a number $\delta\gt 0$ such that

$$(x,y)\in D\ \text{ and }\ 0\lt\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(x,y)-L|\lt\varepsilon .$$

The condition that $D$ contain points arbitrarily close to $(a,b)$ is what makes the definition non-vacuous; $(a,b)$ itself need not lie in $D$.

NOTE 정의의 기하적 의미 Geometric Reading of the DefinitionFigure 1–2 · p.990–991
한국어

같은 진술을 나타내는 다른 두 표기법은 다음과 같다.

$$\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}}f(x,y)=L$$
$$(x,y)\to(a,b)\ \text{일 때}\ f(x,y)\to L$$

정의 1에 나오는 두 양은 모두 거리이다. $|f(x,y)-L|$은 두 수 $f(x,y)$와 $L$ 사이의 거리이고, $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$는 두 점 $(x,y)$와 $(a,b)$ 사이의 거리이다. 즉 이 정의는, 두 번째 거리를—단 $0$은 아니게—충분히 작게 만들면 첫 번째 거리를 원하는 만큼 작게 만들 수 있다고 말한다.

화살표 그림으로 읽으면: $L$을 중심으로 하는 구간 $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$이 어떻게 주어지든, 중심이 $(a,b)$이고 반지름이 $\delta\gt 0$인 원판 $D_\delta$를 잡아 $f$가 그 구간 안으로 사상되게 할 수 있다.

$$f\bigl(D_\delta\setminus\{(a,b)\}\bigr)\subset(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).$$
y x 0 δ (a, b) Dδ f L + ε L L − ε

$f(D_\delta\setminus\{(a,b)\})\subset(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon)$

그래프로 읽으면: $S$를 곡면 $z=f(x,y)$라 하자. $\varepsilon\gt 0$이 주어질 때마다, 뚫린 원판 $D_\delta$ 위에 놓인 $S$의 부분이 두 수평평면 $z=L-\varepsilon$과 $z=L+\varepsilon$ 사이에 완전히 들어가도록 $\delta\gt 0$을 잡을 수 있다.

English

Two other notations for the same statement are

$$\lim_{\substack{x\to a\\ y\to b}}f(x,y)=L$$
$$f(x,y)\to L\ \text{ as }\ (x,y)\to(a,b)$$

Both quantities in Definition 1 are distances: $|f(x,y)-L|$ is the distance between the two numbers $f(x,y)$ and $L$, and $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ is the distance between the two points $(x,y)$ and $(a,b)$. So the definition says that the first distance can be made arbitrarily small by making the second one small enough — but not zero.

Read as an arrow diagram: given any interval $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$ around $L$, one can produce a disk $D_\delta$ with centre $(a,b)$ and radius $\delta\gt 0$ that $f$ maps into that interval,

$$f\bigl(D_\delta\setminus\{(a,b)\}\bigr)\subset(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon).$$
y x 0 δ (a, b) Dδ f L + ε L L − ε

$f(D_\delta\setminus\{(a,b)\})\subset(L-\varepsilon,\,L+\varepsilon)$

Read on the graph instead: let $S$ be the surface $z=f(x,y)$. Given $\varepsilon\gt 0$, one can choose $\delta\gt 0$ so that the part of $S$ lying above the punctured disk $D_\delta$ is trapped between the two horizontal planes $z=L-\varepsilon$ and $z=L+\varepsilon$.

NOTE 접근 방향이 무한히 많다 Infinitely Many Paths of ApproachShowing That a Limit Does Not Exist · p.991
한국어

일변수함수의 경우 $a$에 접근하는 방법은 왼쪽에서와 오른쪽에서, 정확히 두 가지뿐이다. 두 편극한이 서로 다르면 $\lim_{x\to a}f(x)$는 존재하지 않는다.

이변수에서는 사정이 훨씬 자유롭다. 점 $(x,y)$는 $f$의 정의역 안에만 머물러 있으면, 무한히 많은 방향과 무한히 많은 곡선을 따라 어떤 방식으로도 $(a,b)$에 접근할 수 있다.

정의 1은 $(x,y)$와 $(a,b)$ 사이의 거리만을 제한할 뿐, 접근하는 방향에 대해서는 아무것도 말하지 않는다. 따라서 극한이 존재한다면 $f(x,y)$는 어떤 접근 방식을 택하더라도 같은 값 $L$로 다가가야 한다. 대우를 취하면, 서로 다른 극한값을 주는 두 접근 방식을 찾아내는 것만으로 극한이 존재하지 않음을 보일 수 있다.

English

For a function of one variable there are exactly two ways to approach $a$: from the left and from the right. If the two one-sided limits disagree, $\lim_{x\to a}f(x)$ fails to exist.

In two variables the situation is far less rigid. The point $(x,y)$ may approach $(a,b)$ from infinitely many directions and along infinitely many curves, in any manner whatsoever, as long as it stays inside the domain of $f$.

Definition 1 constrains only the distance from $(x,y)$ to $(a,b)$; it says nothing about the direction of approach. Consequently, if the limit exists, then $f(x,y)$ must tend to that same value $L$ along every possible approach. Contrapositively, exhibiting two approaches with different limiting values proves that the limit does not exist.

THM 5 경로 판정법 Two-Path TestBoxed statement · p.991
한국어

경로 판정법. 경로 $C_1$을 따라 $(x,y)\to(a,b)$일 때 $f(x,y)\to L_1$이고, 경로 $C_2$를 따라 $(x,y)\to(a,b)$일 때 $f(x,y)\to L_2$라 하자. 이때 $L_1\ne L_2$이면

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\text{는 존재하지 않는다.}$$

이는 정의 1에서 바로 따라 나온다. 극한이 존재한다면 그 값은 어떤 허용 가능한 경로를 따라 접근하더라도 같아야 하므로, 서로 다른 극한값을 주는 두 경로가 있으면 극한은 존재할 수 없다. 다만 이 판정법은 한쪽 방향으로만 성립한다 — 두 경로는 물론이고 $(a,b)$를 지나는 모든 직선처럼 무한히 많은 경로를 따라 값이 일치하더라도, 그것만으로 극한의 존재가 증명되지는 않는다(예제 3).

x y 0 (a, b) C₁ C₂ f → L₁ f → L₂ L₁ ≠ L₂
English

Two-Path Test. Suppose $f(x,y)\to L_1$ as $(x,y)\to(a,b)$ along a path $C_1$, and $f(x,y)\to L_2$ as $(x,y)\to(a,b)$ along a path $C_2$. If $L_1\ne L_2$, then

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\ \text{does not exist.}$$

This is immediate from Definition 1: a limit, if it exists, is approached along every admissible path, so two paths with different limiting values rule one out. The test runs one way only: agreement along two paths — or even along an infinite family, such as every line through $(a,b)$ — proves nothing (see Example 3).

x y 0 (a, b) C₁ C₂ f → L₁ f → L₂ L₁ ≠ L₂
REM 6 극한 법칙 Limit LawsProperties of Limits, Eq. (2) · p.993
한국어

§1.6의 극한 법칙은 그대로 이변수함수로 확장된다. 우변의 극한들이 존재한다고 가정하면:

  1. 합의 극한은 극한의 합이다;
  2. 차의 극한은 극한의 차이다;
  3. 상수배는 극한을 그대로 통과한다;
  4. 곱의 극한은 극한의 곱이다;
  5. 몫의 극한은 극한의 몫이다, 단 분모의 극한이 $0$이 아닐 때.

이 법칙들과 함께 세 가지 특수한 극한이 필요하며, 이 셋을 증명하는 것이 연습문제 54의 과제이다.

$$\begin{gathered}\lim_{(x,y)\to(a,b)}x=a,\\[2pt] \lim_{(x,y)\to(a,b)}y=b,\\[2pt] \lim_{(x,y)\to(a,b)}c=c.\end{gathered}\tag{2}$$
English

The Limit Laws of Section 1.6 carry over verbatim to functions of two variables. Assuming the limits on the right exist:

  1. the limit of a sum is the sum of the limits;
  2. the limit of a difference is the difference of the limits;
  3. a constant factor passes through the limit;
  4. the limit of a product is the product of the limits;
  5. the limit of a quotient is the quotient of the limits, as long as the denominator's limit is not $0$.

Together with the laws one needs three special limits; proving these three is the task set by Exercise 54:

$$\begin{gathered}\lim_{(x,y)\to(a,b)}x=a,\\[2pt] \lim_{(x,y)\to(a,b)}y=b,\\[2pt] \lim_{(x,y)\to(a,b)}c=c.\end{gathered}\tag{2}$$
THM 7 다항·유리함수의 극한은 직접대입 Limits of Polynomials and Rational FunctionsEq. (3)–(4) · p.993
한국어

이변수함수의 다항함수란 $c$가 상수이고 $m,n$이 음이 아닌 정수인 항 $c\,x^my^n$들의 유한합이며, 유리함수는 그런 두 다항식의 몫이다. 예를 들어 $p(x,y)=x^4+5x^3y^2+6xy^4-7y+6$은 다항함수이고 $q(x,y)=\dfrac{2xy+1}{x^2+y^2}$는 유리함수이다.

모든 이변수 다항함수 $p$에 대해

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=p(a,b).\tag{3}$$

유리함수 $q=p/r$과 $q$의 정의역에 속하는 점 $(a,b)$(즉 $r(a,b)\ne 0$)에 대해

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}q(x,y)=\frac{p(a,b)}{r(a,b)}=q(a,b).\tag{4}$$

요컨대 이 두 종류의 함수에서는 극한을 직접대입으로 계산할 수 있다.

증명. 다항함수 $p(x,y)=\sum c_k x^{m_k}y^{n_k}$(유한합)의 각 항 $x^my^n$을 보자. $m+n\ge1$이면 곱 법칙을 $m+n-1$번 적용하고 특수 극한 $\lim x=a$, $\lim y=b$(식 (2))를 대입하여 $\lim_{(x,y)\to(a,b)}x^my^n=a^mb^n$을 얻고, $m=n=0$인 상수항은 (2)의 $\lim c=c$가 곧바로 처리한다. 여기에 상수배 법칙을 적용한 뒤, 항이 유한 개이므로 합 법칙을 반복 적용하면

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=\sum c_k a^{m_k}b^{n_k}=p(a,b)$$

가 되어 (3)이 성립한다.

유리함수 $q=p/r$에 대해 $(a,b)$가 $q$의 정의역에 있다는 것은 $r(a,b)\ne0$을 뜻한다. (3)을 분자 $p$와 분모 $r$에 각각 적용하면 $\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=p(a,b)$이고 $\lim_{(x,y)\to(a,b)}r(x,y)=r(a,b)\ne0$이므로, 몫 법칙(분모의 극한이 $0$이 아닐 때 성립)을 적용할 수 있어

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}q(x,y)=\frac{p(a,b)}{r(a,b)}=q(a,b)$$

를 얻는다. 이것이 (4)이다.

$\square$
English

A polynomial function of two variables is a finite sum of terms $c\,x^m y^n$ with $c$ constant and $m,n$ nonnegative integers; a rational function is a quotient of two such polynomials. For instance $p(x,y)=x^4+5x^3y^2+6xy^4-7y+6$ is a polynomial and $q(x,y)=\dfrac{2xy+1}{x^2+y^2}$ is a rational function.

For every polynomial $p$ of two variables,

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=p(a,b).\tag{3}$$

For a rational function $q=p/r$ and a point $(a,b)$ in the domain of $q$ (that is, $r(a,b)\ne 0$),

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}q(x,y)=\frac{p(a,b)}{r(a,b)}=q(a,b).\tag{4}$$

In short: for these two classes of functions the limit is computed by direct substitution.

Proof. Take a term $x^my^n$ of the polynomial $p(x,y)=\sum c_k x^{m_k}y^{n_k}$ (a finite sum). If $m+n\ge1$, applying the product law $m+n-1$ times and substituting the special limits $\lim x=a$, $\lim y=b$ from (2) gives $\lim_{(x,y)\to(a,b)}x^my^n=a^mb^n$; a constant term ($m=n=0$) is settled at once by $\lim c=c$ in (2). Multiplying by the constant-factor law and then applying the sum law across the finitely many terms gives

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=\sum c_k a^{m_k}b^{n_k}=p(a,b),$$

which is (3).

For a rational function $q=p/r$, the hypothesis that $(a,b)$ lies in the domain of $q$ means $r(a,b)\ne0$. Applying (3) to the numerator and denominator separately gives $\lim_{(x,y)\to(a,b)}p(x,y)=p(a,b)$ and $\lim_{(x,y)\to(a,b)}r(x,y)=r(a,b)\ne0$, so the quotient law (valid whenever the limit of the denominator is nonzero) applies and yields

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}q(x,y)=\frac{p(a,b)}{r(a,b)}=q(a,b),$$

which is (4).

$\square$
REM 8 조임정리도 성립한다 The Squeeze Theorem ExtendsEq. (5) · p.994
한국어

조임정리는 이변수 이상의 함수에서도 성립한다. $(a,b)$ 근방에서 $u\le f\le v$이고 $u,v$가 그곳에서 같은 극한 $L$을 가지면 $f$도 $L$로 수렴한다. 이는 이미 짐작한 극한값을 확인하는 표준적인 도구이다.

예제 6에서 쓰이는 다음 부등식이 이 기법을 보여 준다. $y^2\ge 0$이므로 $x^2\le x^2+y^2$이고 따라서 $x^2/(x^2+y^2)\le 1$이므로,

$$\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}\le 3|y|=3\sqrt{y^2}\le 3\sqrt{x^2+y^2}.\tag{5}$$

우변의 값은 $(x,y)$와 원점 사이의 거리에만 의존하며, 이는 정의 1이 다루는 바로 그 양이다.

English

The Squeeze Theorem carries over unchanged to two or more variables: if $u\le f\le v$ near $(a,b)$ and $u,v$ share the limit $L$ there, then $f\to L$ as well. It is the standard tool for confirming a limit whose value has already been guessed.

The estimate used in Example 6 illustrates the technique. Since $y^2\ge 0$ gives $x^2\le x^2+y^2$, hence $x^2/(x^2+y^2)\le 1$,

$$\frac{3x^2|y|}{x^2+y^2}\le 3|y|=3\sqrt{y^2}\le 3\sqrt{x^2+y^2}.\tag{5}$$

The right-hand bound depends only on the distance from $(x,y)$ to the origin, which is exactly what Definition 1 controls.

DEF 9 한 점에서의 연속 Continuity at a PointDefinition 6 · p.995
한국어

일변수함수에서 연속함수의 극한은 직접대입으로 계산되는데, 이는 대입 성질 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ 자체가 연속의 정의이기 때문이다. 이변수의 연속도 같은 방식으로 정의한다.

정의 6. 이변수함수 $f$가 $(a,b)$에서 연속이라 함은

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)$$

인 것을 말한다. $D$의 모든 점 $(a,b)$에서 연속이면 $f$는 $D$에서 연속이라 한다.

이 등식 하나에 세 가지 요구가 담겨 있다: $f(a,b)$가 정의되어 있어야 하고, 극한이 존재해야 하며, 두 값이 서로 같아야 한다.

English

For one variable, limits of continuous functions are evaluated by direct substitution, because that substitution property $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ is precisely what continuity means. Two-variable continuity is defined the same way.

Definition 6. A function $f$ of two variables is continuous at $(a,b)$ if

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b).$$

$f$ is continuous on $D$ if it is continuous at every point $(a,b)$ of $D$.

The equation packs three demands into one: $f(a,b)$ is defined, the limit exists, and the two numbers agree.

NOTE 연속함수를 만드는 방법 Building Continuous Functionsp.995
한국어

직관적으로 연속이란, 점 $(x,y)$의 작은 변화가 값 $f(x,y)$에도 작은 변화만을 일으킨다는 뜻이며, 이때 곡면 $z=f(x,y)$에는 구멍도 끊김도 없다.

다음 세 가지 사실 덕분에 연속함수를 쉽게 알아볼 수 있다.

(a) 식 (3)은 다항함수의 극한을 대입으로 계산하므로, 모든 다항함수는 $\mathbb{R}^2$ 전체에서 연속이다.

(b) 식 (4)는 유리함수에 대해 그 정의역의 모든 점에서 같은 일을 하므로, 모든 유리함수는 자신의 정의역에서 연속이다.

(c) 극한 법칙에 의해, 연속함수의 합·차·곱·몫도 각자의 정의역에서 연속이다 — 몫은 분모가 $0$이 아닌 곳에서.

English

Intuitively, continuity says that a small change in the point $(x,y)$ produces only a small change in the value $f(x,y)$; the surface $z=f(x,y)$ then has no hole and no break in it.

Three consequences make continuous functions easy to recognize.

(a) Equation (3) evaluates the limit of a polynomial by substitution, so every polynomial is continuous on all of $\mathbb{R}^2$.

(b) Equation (4) does the same for a rational function at every point of its domain, so every rational function is continuous on its domain.

(c) By the Limit Laws, adding, subtracting, multiplying or dividing two continuous functions again produces a function continuous on the resulting domain — for a quotient, wherever the denominator stays nonzero.

NOTE 합성함수의 연속 Continuity of Compositesp.996
한국어

합성은 연속함수를 만드는 네 번째 방법이다. $f$를 이변수 연속함수, $g$를 $f$의 치역에서 정의된 일변수 연속함수라 하자. 그러면 다음 식으로 정의되는 합성함수 $h=g\circ f$

$$h(x,y)=g\bigl(f(x,y)\bigr)$$

도 연속이다. 교재는 이를 증명 없이 서술하며, 예제 10과 11에서 각각 $g(t)=e^{-t}$와 $g(t)=\arctan t$에 적용한다.

English

Composition is a fourth way of manufacturing continuous functions. Let $f$ be a continuous function of two variables and let $g$ be a continuous function of one variable defined on the range of $f$. Then the composite $h=g\circ f$ given by

$$h(x,y)=g\bigl(f(x,y)\bigr)$$

is continuous as well. The text states this without proof; Examples 10 and 11 apply it to $g(t)=e^{-t}$ and $g(t)=\arctan t$.

NOTE 삼변수 이상의 극한과 연속 Limits and Continuity in Higher DimensionsFunctions of Three or More Variables · p.997
한국어

이 절의 내용은 모두 삼변수 이상으로 확장된다. $\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=L$이란, 점 $(x,y,z)$가 $f$의 정의역 안에서 $(a,b,c)$에 접근할 때 $f$가 $L$에 접근한다는 뜻이다. $\mathbb{R}^3$에서의 거리는 $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$이므로, 엄밀한 정의는 다음과 같다: 모든 $\varepsilon\gt 0$에 대해 어떤 $\delta\gt 0$이 있어

$$0\lt\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(x,y,z)-L|\lt\varepsilon$$

가 $f$의 정의역에 속한 모든 $(x,y,z)$에 대해 성립한다. $(a,b,c)$에서의 연속 역시 $\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=f(a,b,c)$로 정의된다.

예를 들어 $f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2-1}$은 삼변수 유리함수이므로 분모가 $0$이 아닌 $\mathbb{R}^3$의 모든 점에서 연속이며, 불연속점은 오직 단위구면 $x^2+y^2+z^2=1$ 위에만 있다.

English

Everything in this section extends to three or more variables. The statement $\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=L$ means that $f$ approaches $L$ as the point $(x,y,z)$ approaches $(a,b,c)$ inside the domain of $f$, and since the distance in $\mathbb{R}^3$ is $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}$, the precise version reads: for every $\varepsilon\gt 0$ there is $\delta\gt 0$ with

$$0\lt\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(x,y,z)-L|\lt\varepsilon$$

for every $(x,y,z)$ in the domain of $f$. Continuity at $(a,b,c)$ again means $\lim_{(x,y,z)\to(a,b,c)}f(x,y,z)=f(a,b,c)$.

For example, $f(x,y,z)=\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2-1}$ is a rational function of three variables, hence continuous at every point of $\mathbb{R}^3$ where its denominator does not vanish; its only discontinuities lie on the unit sphere $x^2+y^2+z^2=1$.

DEF 13 n차원 공간에서의 극한 Limit in n-SpaceDefinition (7) · p.997
한국어

벡터 표기를 쓰면 이변수·삼변수의 정의를 하나로 통합할 수 있다.

정의 (7). $f$가 $\mathbb{R}^n$의 부분집합 $D$에서 정의되어 있다고 하자. 이때 $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}f(\mathbf{x})=L$이란, 모든 $\varepsilon\gt 0$에 대해 어떤 $\delta\gt 0$이 존재하여

$$\mathbf{x}\in D\ \text{이고}\ 0\lt|\mathbf{x}-\mathbf{a}|\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(\mathbf{x})-L|\lt\varepsilon$$

을 만족시킨다는 뜻이다.

지금까지 다룬 세 경우는 $n=1,2,3$일 때의 특수한 경우이다. $n=1$이면 $\mathbf{x}=x$, $\mathbf{a}=a$이므로 (7)은 일변수 정의가 된다. $n=2$이면 $\mathbf{x}=\langle x,y\rangle$, $\mathbf{a}=\langle a,b\rangle$이므로 $|\mathbf{x}-\mathbf{a}|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$이고 (7)은 정의 1이 된다. $n=3$이면 앞의 삼변수 정의가 된다.

연속 역시 모든 차원에서 하나의 간결한 형태를 갖는다: $f$가 $\mathbf{a}$에서 연속이라 함은 $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}f(\mathbf{x})=f(\mathbf{a})$인 것이다.

English

Vector notation collapses the two-variable and three-variable definitions into a single one.

Definition (7). Let $f$ be defined on a subset $D$ of $\mathbb{R}^n$. Then $\displaystyle\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}f(\mathbf{x})=L$ means: for every $\varepsilon\gt 0$ there is $\delta\gt 0$ such that

$$\mathbf{x}\in D\ \text{ and }\ 0\lt|\mathbf{x}-\mathbf{a}|\lt\delta\ \Longrightarrow\ |f(\mathbf{x})-L|\lt\varepsilon .$$

The three cases already met are the special cases $n=1,2,3$. For $n=1$ one has $\mathbf{x}=x$, $\mathbf{a}=a$ and (7) is the one-variable definition. For $n=2$, $\mathbf{x}=\langle x,y\rangle$ and $\mathbf{a}=\langle a,b\rangle$, so $|\mathbf{x}-\mathbf{a}|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ and (7) becomes Definition 1. For $n=3$ it becomes the three-variable definition above.

Continuity likewise has one compact form in every dimension: $f$ is continuous at $\mathbf{a}$ if $\lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{a}}f(\mathbf{x})=f(\mathbf{a})$.

예제 답안 · Worked Examples

EXAM 1 두 축을 따른 극한이 다른 경우 Different Limits Along the Two AxesExample 1 · p.991–992
한국어

$f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 에 대하여 두 좌표축을 경로로 삼아, 극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 가 존재하지 않음을 보여라.

증명. $x$축(즉 $y=0$, $x\ne0$)을 따라 원점에 접근하면 $f(x,0)=\dfrac{x^2-0}{x^2+0}=1$이므로 $f(x,0)\to1$이다. $y$축(즉 $x=0$, $y\ne0$)을 따라 접근하면 $f(0,y)=\dfrac{0-y^2}{0+y^2}=-1$이므로 $f(0,y)\to-1$이다. 두 좌표축은 모두 원점을 지나는 경로이고 두 극한값 $1\ne-1$이 서로 다르므로, 경로 판정법에 의해 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$는 존재하지 않는다.

$\square$
English

Show that $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ does not exist, by comparing the values of the function along the two coordinate axes.

Proof. Along the $x$-axis ($y=0$, $x\ne0$), $f(x,0)=\dfrac{x^2-0}{x^2+0}=1$, so $f(x,0)\to1$. Along the $y$-axis ($x=0$, $y\ne0$), $f(0,y)=\dfrac{0-y^2}{0+y^2}=-1$, so $f(0,y)\to-1$. Both axes are paths through the origin, and the two limiting values $1\ne-1$ disagree, so by the Two-Path Test, $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ does not exist.

$\square$
EXAM 2 축과 직선 y=x를 비교하는 경우 Axes Versus the Line y = xExample 2 · p.992
한국어

$f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}$ 에 대하여 극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 가 존재하는지 판정하라. 두 좌표축을 따른 극한과 직선 $y=x$ 를 따른 극한을 각각 구하여 결론의 근거로 삼아라.

증명. 두 좌표축을 따르면 $f(x,0)=\dfrac{0}{x^2}=0$이고 $f(0,y)=\dfrac{0}{y^2}=0$이므로, 어느 축으로 접근하더라도 $f\to0$이다. 그러나 직선 $y=x$ ($x\ne0$)를 따르면 $f(x,x)=\dfrac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac12$이므로 $f(x,x)\to\dfrac12$이다. 두 축을 따른 극한 $0$과 직선 $y=x$를 따른 극한 $\dfrac12$이 서로 다르므로, 경로 판정법에 의해 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$는 존재하지 않는다.

$\square$
English

Decide whether $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ exists. Compute the limit along each coordinate axis and along the line $y=x$, and use those values to justify the conclusion.

Proof. Along either coordinate axis, $f(x,0)=\dfrac{0}{x^2}=0$ and $f(0,y)=\dfrac{0}{y^2}=0$, so $f\to0$ regardless of which axis is used. Along the line $y=x$ ($x\ne0$), however, $f(x,x)=\dfrac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac12$, so $f(x,x)\to\dfrac12$. Since the axis limit $0$ and the limit $\dfrac12$ along $y=x$ disagree, the Two-Path Test shows $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$ does not exist.

$\square$
EXAM 3 모든 직선으로는 부족한 경우 When All Lines Are Not EnoughExample 3 · p.992–993
한국어

$f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^4}$ 에 대하여 극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ 가 존재하는지 판정하라. 먼저 원점을 지나는 모든 직선을 따른 극한을 구하고, 그 값들만으로는 결론을 내릴 수 없음을 포물선 $x=y^2$ 을 따른 극한으로 보여라.

증명. 원점을 지나는 직선 $y=mx$($m$은 상수)를 따르면 $f(x,mx)=\dfrac{x(mx)^2}{x^2+(mx)^4}=\dfrac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=\dfrac{m^2x}{1+m^4x^2}$이고, $x\to0$일 때 분자는 $0$으로, 분모는 $1$로 가므로 $f(x,mx)\to0$이다. $y$축($x=0$)을 따를 때도 $f(0,y)=0$이므로 마찬가지다. 즉 원점을 지나는 모든 직선을 따른 극한은 하나같이 $0$이다.

그러나 포물선 $x=y^2$ ($y\ne0$)을 따르면 $f(y^2,y)=\dfrac{y^2\cdot y^2}{(y^2)^2+y^4}=\dfrac{y^4}{2y^4}=\dfrac12$이므로 $f(y^2,y)\to\dfrac12$이다. 이는 직선을 따른 공통값 $0$과 다르므로, 경로 판정법에 의해 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$는 존재하지 않는다 — 원점을 지나는 모든 직선에서 값이 일치해도 극한의 존재를 보장하지는 않는다.

$\square$
English

Decide whether $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ exists. First find the limit along every line through the origin; then show that this evidence settles nothing by computing the limit along the parabola $x=y^2$.

Proof. Along a line $y=mx$ through the origin ($m$ constant), $f(x,mx)=\dfrac{x(mx)^2}{x^2+(mx)^4}=\dfrac{m^2x^3}{x^2+m^4x^4}=\dfrac{m^2x}{1+m^4x^2}$, and as $x\to0$ the numerator tends to $0$ while the denominator tends to $1$, so $f(x,mx)\to0$. Along the $y$-axis ($x=0$), $f(0,y)=0$ as well. So the limit along every line through the origin equals $0$.

Along the parabola $x=y^2$ ($y\ne0$), however, $f(y^2,y)=\dfrac{y^2\cdot y^2}{(y^2)^2+y^4}=\dfrac{y^4}{2y^4}=\dfrac12$, so $f(y^2,y)\to\dfrac12$. This disagrees with the common value $0$ along lines, so by the Two-Path Test $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}$ does not exist — agreement along every line through the origin does not guarantee that the limit exists.

$\square$
EXAM 4 다항함수의 극한 Limit of a PolynomialExample 4 · p.994
한국어

극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y^3-x^3y^2+3x+2y\right)$ 의 값을 구하라.

풀이. $p(x,y)=x^2y^3-x^3y^2+3x+2y$는 다항함수이므로 (3)에 의해 극한은 $(1,2)$를 직접 대입해 구할 수 있다.

$$p(1,2)=1^2\cdot2^3-1^3\cdot2^2+3\cdot1+2\cdot2=8-4+3+4=11.$$

따라서 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y^3-x^3y^2+3x+2y\right)=11$이다.

English

Evaluate $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y^3-x^3y^2+3x+2y\right)$.

Solution. Since $p(x,y)=x^2y^3-x^3y^2+3x+2y$ is a polynomial, (3) allows the limit to be evaluated by substituting $(1,2)$ directly.

$$p(1,2)=1^2\cdot2^3-1^3\cdot2^2+3\cdot1+2\cdot2=8-4+3+4=11.$$

Hence $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y^3-x^3y^2+3x+2y\right)=11$.

EXAM 5 유리함수의 극한 Limit of a Rational FunctionExample 5 · p.994
한국어

극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-2,3)}\frac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}$ 가 존재하는지 확인하고, 존재하면 그 값을 구하라.

풀이. $q(x,y)=\dfrac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}$의 분모 $r(x,y)=x^3y^2-2x$는 $(-2,3)$에서 $r(-2,3)=(-2)^3\cdot3^2-2(-2)=-72+4=-68\ne0$이므로, $(-2,3)$은 $q$의 정의역에 속한다. 따라서 (4)에 의해 극한은 직접대입으로 구해진다.

$$q(-2,3)=\frac{(-2)^2\cdot3+1}{(-2)^3\cdot3^2-2(-2)}=\frac{4\cdot3+1}{-72+4}=\frac{13}{-68}=-\frac{13}{68}.$$

따라서 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-2,3)}\frac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}=-\frac{13}{68}$이다.

English

Decide whether $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-2,3)}\frac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}$ exists, and evaluate it if it does.

Solution. For $q(x,y)=\dfrac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}$, the denominator $r(x,y)=x^3y^2-2x$ satisfies $r(-2,3)=(-2)^3\cdot3^2-2(-2)=-72+4=-68\ne0$ at $(-2,3)$, so $(-2,3)$ lies in the domain of $q$. Hence (4) allows the limit to be evaluated by direct substitution.

$$q(-2,3)=\frac{(-2)^2\cdot3+1}{(-2)^3\cdot3^2-2(-2)}=\frac{4\cdot3+1}{-72+4}=\frac{13}{-68}=-\frac{13}{68}.$$

Hence $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(-2,3)}\frac{x^2y+1}{x^3y^2-2x}=-\frac{13}{68}$.

EXAM 6 정의와 조임정리로 구하는 극한 A Limit by Definition and by SqueezingExample 6 · p.994–995
한국어

극한 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}$ 가 존재하면 그 값을 구하라. 단, 다음 두 가지 방법으로 각각 구하라.

(a) 정의 1의 ε-δ 논법을 직접 사용한다.

(b) 부등식 (5)와 조임정리를 사용한다.

풀이. 두 방법 모두 극한값이 $0$임을 보인다.

(a) $\varepsilon\gt0$이 주어졌다고 하자. $\delta=\varepsilon/3$로 잡는다. $0\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt\delta$이면 $x^2\le x^2+y^2$이므로 $x^2/(x^2+y^2)\le1$이고, 따라서

$$\left|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}-0\right|=3|y|\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\le3|y|=3\sqrt{y^2}\le3\sqrt{x^2+y^2}\lt3\delta=\varepsilon$$

이 성립한다. 이는 정의 1이 요구하는 함의를 그대로 확인해 주므로 극한값은 $0$이다.

(b) $x^2/(x^2+y^2)\le1$이므로 $-3|y|\le\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}\le3|y|$가 모든 $(x,y)\ne(0,0)$에서 성립한다. 이는 부등식 (5)의 첫 부등호를 절댓값 없이 쓴 것이다. $(x,y)\to(0,0)$이면 $|y|\to0$이므로 위·아래 두 경계가 모두 $0$으로 수렴하고, 조임정리에 의해 가운데 항도 $0$으로 수렴한다.

따라서 두 방법 모두 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0$을 준다.

English

Find $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}$ if it exists, in two ways.

(a) Directly from the $\varepsilon$-$\delta$ statement of Definition 1.

(b) From inequality (5) together with the Squeeze Theorem.

Solution. Both methods show the limit equals $0$.

(a) Let $\varepsilon\gt0$ be given, and set $\delta=\varepsilon/3$. If $0\lt\sqrt{x^2+y^2}\lt\delta$, then $x^2\le x^2+y^2$ gives $x^2/(x^2+y^2)\le1$, so

$$\left|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}-0\right|=3|y|\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}\le3|y|=3\sqrt{y^2}\le3\sqrt{x^2+y^2}\lt3\delta=\varepsilon .$$

This is precisely the implication Definition 1 demands, so the limit is $0$.

(b) Since $x^2/(x^2+y^2)\le1$, the bound $-3|y|\le\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}\le3|y|$ holds for every $(x,y)\ne(0,0)$; this is the first estimate of inequality (5) written without absolute values. As $(x,y)\to(0,0)$, $|y|\to0$, so both bounds tend to $0$, and the Squeeze Theorem forces the middle expression to tend to $0$ as well.

Both methods therefore give $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0$.

EXAM 7 유리함수가 연속인 곳 Where a Rational Function Is ContinuousExample 7 · p.995
한국어

함수 $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ 가 연속인 점들의 집합을 구하라.

풀이. $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$는 유리함수이므로 (4)에 의해 자신의 정의역, 즉 분모가 $0$이 아닌 점들에서 연속이다. $x^2+y^2=0$은 $x=y=0$일 때만 성립하므로 분모가 $0$이 되는 점은 원점 하나뿐이다. 따라서 $f$는 집합

$$D=\{(x,y)\mid(x,y)\ne(0,0)\}$$

에서 연속이며, 원점에서는 애초에 정의되지 않으므로 그곳에서는 불연속으로 취급한다.

English

Determine the set of points at which $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ is continuous.

Solution. The function $f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ is rational, so by (4) it is continuous throughout its domain, namely wherever the denominator is nonzero. Since $x^2+y^2=0$ only at $x=y=0$, the origin is the sole point where the denominator vanishes. Hence $f$ is continuous on the set

$$D=\{(x,y)\mid(x,y)\ne(0,0)\},$$

and since $f$ is not even defined at the origin, that point counts as a point of discontinuity.

EXAM 8 값을 정해 주어도 불연속인 함수 Defining the Value Does Not Restore ContinuityExample 8 · p.995
한국어

함수 $g$ 를

$$g(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

로 정의한다. $g$ 가 원점에서 연속인지 판정하고, 그 근거를 밝혀라.

풀이. $g(0,0)=0$으로 값이 정의되어 있으므로 연속의 정의(정의 6)가 요구하는 첫 조건("$g(0,0)$이 정의됨")은 충족된다. 그러나 예제 1에서 이미 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$가 존재하지 않음을 보였고, $(x,y)\ne(0,0)$에서 $g$는 그 유리함수와 같으므로 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)$도 존재하지 않는다. 극한 자체가 없으므로 정의 6의 등식 $\lim g=g(0,0)$이 성립할 수 없다. 따라서 $g$는 원점에서 불연속이다.

English

Let

$$g(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}$$

Decide whether $g$ is continuous at the origin, and say why.

Solution. The value $g(0,0)=0$ is defined, so the first requirement of Definition 6 (that $g(0,0)$ exist) is met. But Example 1 already showed that $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ fails to exist, and since $g$ agrees with that rational function for $(x,y)\ne(0,0)$, $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}g(x,y)$ fails to exist as well. With no limit to speak of, the equality $\lim g=g(0,0)$ required by Definition 6 cannot hold. So $g$ is discontinuous at the origin.

EXAM 9 원점에서도 연속인 조각함수 A Piecewise Function Continuous at the OriginExample 9 · p.996
한국어

함수 $f$ 를

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0)\end{cases}$$

으로 정의한다. $f$ 가 연속인 점들의 집합을 구하라. (원점에서의 연속성은 예제 6의 결과를 이용하라.)

풀이. 원점이 아닌 곳에서 $f$는 유리함수 $\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}$와 같고 그 분모는 원점 밖에서 $0$이 아니므로, (4)에 의해 그곳에서는 연속이다. 원점에서는 예제 6에서 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0$임을 이미 보였고, 이는 정의된 값 $f(0,0)=0$과 일치한다. 즉 정의 6의 등식 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$이 성립하므로 원점에서도 연속이다. 두 경우를 합치면 $f$는 $\mathbb{R}^2$ 전체에서 연속이다.

English

Let

$$f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}, & (x,y)\ne(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}$$

Determine the set of points at which $f$ is continuous, using the value of the limit found in Example 6 to settle the origin.

Solution. Away from the origin, $f$ coincides with the rational function $\dfrac{3x^2y}{x^2+y^2}$, whose denominator is nonzero there, so (4) makes $f$ continuous at every such point. At the origin, Example 6 already showed $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^2y}{x^2+y^2}=0$, which matches the defined value $f(0,0)=0$; thus the equality $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)$ required by Definition 6 holds, and $f$ is continuous there too. Combining both cases, $f$ is continuous on all of $\mathbb{R}^2$.

EXAM 10 지수 합성함수의 연속 Continuity of an Exponential CompositeExample 10 · p.996
한국어

함수 $h(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$ 가 연속인 점들의 집합을 구하라. 합성함수의 연속 성질을 근거로 답하라.

풀이. $f(x,y)=x^2+y^2$는 다항함수이므로 $\mathbb{R}^2$ 전체에서 연속이고, $g(t)=e^{-t}$는 모든 실수 $t$에서 연속이다. $h(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}=g(f(x,y))$이므로 $h$는 합성함수 $g\circ f$이며, 합성함수의 연속성에 의해 $f$가 연속인 곳에서 $h$도 연속이다. 따라서 $h$는 $\mathbb{R}^2$ 전체에서 연속이다.

English

Determine where $h(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}$ is continuous, justifying the answer by the continuity of composites.

Solution. The function $f(x,y)=x^2+y^2$ is a polynomial, hence continuous on all of $\mathbb{R}^2$, and $g(t)=e^{-t}$ is continuous for every real $t$. Since $h(x,y)=e^{-(x^2+y^2)}=g(f(x,y))$, $h$ is the composite $g\circ f$, and the continuity of composites shows $h$ is continuous wherever $f$ is. Hence $h$ is continuous on all of $\mathbb{R}^2$.

EXAM 11 arctan 합성함수의 불연속선 A Line of Discontinuity for an Arctangent CompositeExample 11 · p.996–997
한국어

함수 $h(x,y)=\arctan(y/x)$ 가 연속인 점들의 집합을 구하고, 불연속인 점들이 이루는 도형을 말하라.

풀이. $f(x,y)=y/x$는 유리함수이므로 분모가 $0$이 아닌 곳, 즉 $x\ne0$인 점들에서 연속이고, $g(t)=\arctan t$는 모든 실수 $t$에서 연속이다. $h(x,y)=\arctan(y/x)=g(f(x,y))$는 합성함수 $g\circ f$이므로, 합성함수의 연속성에 의해 $f$가 연속인 영역 $\{(x,y)\mid x\ne0\}$에서 $h$도 연속이다. $h$는 $x=0$인 점에서는 애초에 정의되지 않으므로, 불연속인 점들은 정확히 직선 $x=0$(즉 $y$축) 위에 놓인다.

English

Determine where $h(x,y)=\arctan(y/x)$ is continuous, and describe the set of points at which it fails to be continuous.

Solution. The function $f(x,y)=y/x$ is rational, so it is continuous wherever the denominator is nonzero, that is, on $\{(x,y)\mid x\ne0\}$, and $g(t)=\arctan t$ is continuous for every real $t$. Since $h(x,y)=\arctan(y/x)=g(f(x,y))$ is the composite $g\circ f$, continuity of composites makes $h$ continuous on that same region $\{(x,y)\mid x\ne0\}$. As $h$ is not even defined where $x=0$, its points of discontinuity form exactly the line $x=0$ (the $y$-axis).

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