개념 해석 · Concepts
$R$이 원점을 중심으로 한 원판일 때 이중적분 $\iint_R f(x,y)\,dA$를 계산하고 싶다고 하자. 이런 $R$을 직교좌표로 기술하면 번거롭지만 극좌표로는 한눈에 나타난다. 적분 영역이 극좌표로 더 간단히 기술되는 경우라면, 이중적분을 먼저 극좌표로 바꾸는 쪽이 대개 지름길이다.
극좌표는 §10.3에서 도입했다. 점의 극좌표 $(r,\theta)$와 직교좌표 $(x,y)$는 다음 관계로 이어진다.
원점을 중심으로 한 원은 특히 간단해진다. 단위원은 $r=1$이고, 그것이 둘러싸는 원판은
마찬가지로 쉽게 다루어지는 또 다른 영역은 $x$축 위쪽에서 두 원 $x^2+y^2=1$과 $x^2+y^2=4$ 사이에 놓인 반원환이며,
극좌표로 편리하게 기술되는 그 밖의 곡선들은 표 10.3.1에 정리되어 있다.
Suppose we want to evaluate $\iint_R f(x,y)\,dA$ when $R$ is a circular disk centered at the origin. Describing such an $R$ in rectangular coordinates is clumsy, while polar coordinates describe it at a glance. Whenever the region of integration is more easily described in polar coordinates, converting the double integral first is usually the shorter route.
Polar coordinates were introduced in Section 10.3. The polar coordinates $(r,\theta)$ of a point and its rectangular coordinates $(x,y)$ are related by
Circles centered at the origin become especially simple: the unit circle is $r=1$, and the disk it encloses is
A second region handled just as easily is the half-ring between the circles $x^2+y^2=1$ and $x^2+y^2=4$ lying above the $x$-axis, namely
Table 10.3.1 lists other curves that are conveniently described in polar coordinates.
극좌표 직사각형. 다음과 같은 꼴의 집합
을 극좌표 직사각형이라 한다. 이는 두 동심원호 $r=a$, $r=b$와 두 반직선 $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$로 둘러싸인다.
앞 카드의 두 영역은 모두 이 특수한 경우이다. 단위원판은 $a=0$, $b=1$, $\alpha=0$, $\beta=2\pi$에, 반원환은 $a=1$, $b=2$, $\alpha=0$, $\beta=\pi$에 해당한다.
Polar rectangle. A set of the form
is called a polar rectangle. It is bounded by the two concentric circular arcs $r=a$ and $r=b$ and by the two rays $\theta=\alpha$ and $\theta=\beta$.
Both regions of the previous card are special cases: the unit disk takes $a=0$, $b=1$, $\alpha=0$, $\beta=2\pi$, and the half-ring takes $a=1$, $b=2$, $\alpha=0$, $\beta=\pi$.
$[a,b]$를 폭 $\Delta r=(b-a)/m$인 $m$개의 부분구간 $[r_{i-1},r_i]$로, $[\alpha,\beta]$를 폭 $\Delta\theta=(\beta-\alpha)/n$인 $n$개의 부분구간 $[\theta_{j-1},\theta_j]$로 등분하자. 원 $r=r_i$와 반직선 $\theta=\theta_j$는 극좌표 직사각형 $R$을 작은 극부분직사각형
들로 잘라낸다. 이 $R_{ij}$의 “중심”은 극좌표 $r_i^*=\tfrac12(r_{i-1}+r_i)$, $\theta_j^*=\tfrac12(\theta_{j-1}+\theta_j)$를 갖는다.
$R_{ij}$의 넓이를 구하려면, 반지름 $r$이고 중심각 $\theta$인 부채꼴의 넓이가 $\tfrac12 r^2\theta$라는 사실을 이용한다. 중심각이 똑같이 $\Delta\theta=\theta_j-\theta_{j-1}$인 두 부채꼴의 넓이를 서로 빼면
을 얻는데, 이는 $i$에는 의존하지만 $j$에는 의존하지 않는 양이다. 이중적분은 본래 보통의 직사각형으로 정의되었지만, $f$가 연속이면 극좌표 직사각형을 써도 같은 값이 나온다. $R_{ij}$의 중심은 직교좌표로 $(r_i^*\cos\theta_j^*,\ r_i^*\sin\theta_j^*)$이므로, 전형적인 리만 합은 다음과 같다.
$g(r,\theta)=r\,f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$로 두면 (1)의 합은 $\sum_i\sum_j g(r_i^*,\theta_j^*)\,\Delta r\,\Delta\theta$가 되고, 이는 다음 이중적분에 대한 보통의 리만 합이다.
따라서 넓이소에 붙는 여분의 인자 $r$은 관례가 아니라, 얇은 극좌표 셀 하나의 넓이 $\Delta A_i=r_i^*\,\Delta r\,\Delta\theta$에서 나온 것이다.
Divide $[a,b]$ into $m$ subintervals $[r_{i-1},r_i]$ of equal width $\Delta r=(b-a)/m$ and $[\alpha,\beta]$ into $n$ subintervals $[\theta_{j-1},\theta_j]$ of equal width $\Delta\theta=(\beta-\alpha)/n$. The circles $r=r_i$ and the rays $\theta=\theta_j$ cut the polar rectangle $R$ into small polar subrectangles
whose “center” has polar coordinates $r_i^*=\tfrac12(r_{i-1}+r_i)$ and $\theta_j^*=\tfrac12(\theta_{j-1}+\theta_j)$.
To find the area of $R_{ij}$, use the fact that a circular sector of radius $r$ and central angle $\theta$ has area $\tfrac12 r^2\theta$. Subtracting two such sectors, each of central angle $\Delta\theta=\theta_j-\theta_{j-1}$, gives
a quantity depending on $i$ but not on $j$. The double integral was defined using ordinary rectangles, but for a continuous $f$ one gets the same value using polar rectangles. Since the center of $R_{ij}$ has rectangular coordinates $(r_i^*\cos\theta_j^*,\ r_i^*\sin\theta_j^*)$, a typical Riemann sum is
Writing $g(r,\theta)=r\,f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ turns the sum in (1) into $\sum_i\sum_j g(r_i^*,\theta_j^*)\,\Delta r\,\Delta\theta$, which is an ordinary Riemann sum for the double integral
So the extra factor $r$ in the area element is not a convention: it comes from the area $\Delta A_i=r_i^*\,\Delta r\,\Delta\theta$ of a thin polar cell.
식 (2) — 이중적분의 극좌표 변환. $f$가 $0\le a\le r\le b$, $\alpha\le\theta\le\beta$ (단 $0\le\beta-\alpha\le2\pi$)로 주어지는 극좌표 직사각형 $R$에서 연속이면
제약 $0\le\beta-\alpha\le2\pi$는 반직선이 한 바퀴를 넘겨 돌지 못하게 막아, $R$가 두 번 이상 겹쳐 훑이는 일이 없도록 한다. 원점이나 $\beta-\alpha=2\pi$일 때의 경계 반직선처럼 넓이가 $0$인 부분은 여러 번 기술될 수 있으나, 적분값에는 영향을 주지 않는다.
증명. $R$을 폭 $\Delta r=(b-a)/m$인 $m$개의 $r$-구간과 폭 $\Delta\theta=(\beta-\alpha)/n$인 $n$개의 $\theta$-구간으로 잘라 극부분직사각형 $R_{ij}$를 만들고, 그 중심을 $(r_i^*,\theta_j^*)$라 하자. 앞 카드에서 본 대로 $R_{ij}$의 넓이는 두 부채꼴의 넓이 차 $\Delta A_i=\tfrac12(r_i^2-r_{i-1}^2)\Delta\theta=r_i^*\,\Delta r\,\Delta\theta$이며, $j$에 의존하지 않는다. $f$가 $R$에서 연속이므로, 보통의 직사각형 분할로 정의된 이중적분의 값은 극부분직사각형에 의한 리만 합의 극한으로도 얻어진다.
$g(r,\theta)=r\,f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$로 두면 위 합은 $g$에 대한 보통 직사각형 $[a,b]\times[\alpha,\beta]$ 위의 리만 합 $\sum_i\sum_j g(r_i^*,\theta_j^*)\,\Delta r\,\Delta\theta$와 정확히 같다. $f$와 $(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$가 모두 연속이므로 $g$도 $[a,b]\times[\alpha,\beta]$에서 연속이고, 이 리만 합의 극한은 $\displaystyle\iint_{[a,b]\times[\alpha,\beta]} g\,dr\,d\theta$이다. $g$가 연속이므로 §15.1 정리 10(푸비니 정리)에 의해 이 이중적분은 반복적분과 같다.
Formula (2) — Change to Polar Coordinates in a Double Integral. If $f$ is continuous on a polar rectangle $R$ given by $0\le a\le r\le b$ and $\alpha\le\theta\le\beta$, where $0\le\beta-\alpha\le 2\pi$, then
The restriction $0\le\beta-\alpha\le2\pi$ keeps the rays from sweeping past a full turn, so that no part of $R$ is swept more than once. Sets of area zero — the origin, or the boundary ray when $\beta-\alpha=2\pi$ — may still be described repeatedly, which does not affect the integral.
Proof. Cut $R$ into $m$ subintervals of $r$ of width $\Delta r=(b-a)/m$ and $n$ subintervals of $\theta$ of width $\Delta\theta=(\beta-\alpha)/n$, producing polar subrectangles $R_{ij}$ with centers $(r_i^*,\theta_j^*)$. As in the previous card, the area of $R_{ij}$ is the difference of two sector areas, $\Delta A_i=\tfrac12(r_i^2-r_{i-1}^2)\Delta\theta=r_i^*\,\Delta r\,\Delta\theta$, independent of $j$. Since $f$ is continuous on $R$, the value of the double integral obtained from ordinary rectangles also arises as the limit of Riemann sums built from the polar subrectangles:
Writing $g(r,\theta)=r\,f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$, this sum equals exactly the ordinary Riemann sum $\sum_i\sum_j g(r_i^*,\theta_j^*)\,\Delta r\,\Delta\theta$ for $g$ on the ordinary rectangle $[a,b]\times[\alpha,\beta]$. Since $f$ and the map $(r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$ are continuous, so is $g$, and the limit of this Riemann sum is $\displaystyle\iint_{[a,b]\times[\alpha,\beta]} g\,dr\,d\theta$. Because $g$ is continuous, §15.1 Theorem 10 (Fubini's Theorem) turns this double integral into an iterated one:
식 (2)는 이중적분을 직교좌표에서 극좌표로 바꾸는 세 단계 절차를 제시한다.
(a) 피적분함수에서 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$로 놓는다.
(b) $r$과 $\theta$에 알맞은 적분 한계를 정한다.
(c) $dA$를 $r\,dr\,d\theta$로 바꾼다.
흔히 잊어버리는 것이 바로 (c) 단계이다. 이를 기억하는 고전적인 방법은, “미소” 극좌표 직사각형을 변의 길이가 $dr$과 $r\,d\theta$인 보통의 직사각형으로 보는 것이다. 그러면 그 넓이는
이 인자 $r$은 야코비안 인자의 첫 사례이며, 일반적인 변수변환은 §15.9에서 다룬다.
Formula (2) prescribes a three-step recipe for converting a double integral from rectangular to polar coordinates.
(a) Write $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ in the integrand.
(b) Choose limits of integration appropriate for $r$ and $\theta$.
(c) Replace $dA$ by $r\,dr\,d\theta$.
Step (c) is the one that is forgotten. A classical way to keep it in mind: an “infinitesimal” polar rectangle may be regarded as an ordinary rectangle with sides $dr$ and $r\,d\theta$, so its area is
The factor $r$ is the first instance of a Jacobian factor; the general change of variables is treated in Section 15.9.
식 (3). $f$가 다음과 같은 꼴의 극영역
에서 연속이면
이런 $D$는 §15.2의 제2형 영역에 대응하는 극좌표 버전이다. 바깥 변수 $\theta$는 두 상수 사이를 움직이고, $\theta$를 하나씩 고정할 때마다 안쪽 변수 $r$은 $\theta$의 두 함수 사이를 움직인다. 식 (3)은 식 (2)와 §15.2의 식 15.2.4를 결합하면 얻어진다.
증명. 식 (2)를 쓸 수 있도록 $0\le\beta-\alpha\le2\pi$라 하자. $h_1,h_2$가 유계이므로, 모든 $\theta\in[\alpha,\beta]$에 대해 $a\le h_1(\theta)$이고 $h_2(\theta)\le b$가 되는 극좌표 직사각형 $R=\{(r,\theta)\mid 0\le a\le r\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta\}$를 골라 $D\subset R$로 둘 수 있다. $D$ 위에서는 $f$와 같고 $R\setminus D$ 위에서는 $0$인 함수 $F$를 정의하면, §15.2의 일반 영역에 대한 이중적분의 정의에 의해 $\iint_D f\,dA=\iint_R F\,dA$이다. 이 $F$는 $D$의 경계에서 불연속일 수 있지만, §15.2에서와 마찬가지로 $f$가 $D$에서 연속이고 $D$의 경계가 잘 다루어지는 곡선이면 $F$는 $R$에서 적분가능하며, 식 (2)는 이런 적분가능한 $F$에 대해서도 성립함이 알려져 있다. $F$에 식 (2)를 적용하면
고정된 $\theta\in[\alpha,\beta]$에 대해, 점 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$가 $D$에 속하는 것은 정확히 $h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)$일 때이다 — $\alpha\le\theta\le\beta$, $h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)$라는 이 기술은 §15.2에서 제2형 영역을 $c\le y\le d$, $h_1(y)\le x\le h_2(y)$로 기술한 것의 극좌표 판이고, 안쪽 한계를 이렇게 좁히는 단계가 §15.2 식 (4)(제2형 영역의 반복적분 공식)를 얻을 때의 단계에 대응한다. 따라서 안쪽 피적분함수는 이 구간 밖에서 $0$이고,
이를 앞의 식에 대입하면 식 (3)을 얻는다.
Formula (3). If $f$ is continuous on a polar region of the form
then
Such a $D$ is the polar counterpart of a type II region of Section 15.2: the outer variable $\theta$ runs between two constants, and for each fixed $\theta$ the inner variable $r$ runs between two functions of $\theta$. Formula (3) follows by combining Formula (2) with Formula 15.2.4.
Proof. Assume $0\le\beta-\alpha\le2\pi$, so that Formula (2) is available. Since $h_1,h_2$ are bounded, a polar rectangle $R=\{(r,\theta)\mid 0\le a\le r\le b,\ \alpha\le\theta\le\beta\}$ can be chosen with $a\le h_1(\theta)$ and $h_2(\theta)\le b$ for every $\theta\in[\alpha,\beta]$, so that $D\subset R$. Let $F$ agree with $f$ on $D$ and equal $0$ on $R\setminus D$; by the definition of the double integral over a general region from Section 15.2, $\iint_D f\,dA=\iint_R F\,dA$. This $F$ may be discontinuous on the boundary of $D$, but — exactly as in Section 15.2 — it is integrable on $R$ when $f$ is continuous on $D$ and the boundary of $D$ is a well-behaved curve, and Formula (2) is known to hold for such integrable $F$ as well. Applying Formula (2) to $F$ gives
For a fixed $\theta\in[\alpha,\beta]$, the point $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ lies in $D$ exactly when $h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)$ — the description $\alpha\le\theta\le\beta$, $h_1(\theta)\le r\le h_2(\theta)$ is the polar analogue of a type II region $c\le y\le d$, $h_1(y)\le x\le h_2(y)$, and narrowing the inner limits in this way is the step that yields Formula 15.2.4, the iterated-integral formula for type II regions. Hence the inner integrand vanishes outside that interval, and
Substituting into the previous equality gives Formula (3).
극영역의 넓이. 식 (3)에서 $f(x,y)=1$, $h_1(\theta)=0$, $h_2(\theta)=h(\theta)$로 두면, $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$, $r=h(\theta)$로 둘러싸인 영역 $D$의 넓이는
이는 §10.4에서 얻은 식 10.4.3, 곧 극좌표 곡선의 넓이 공식과 정확히 같다. 여기서는 그 공식이 $f=1$인 특수한 경우로서 이중적분에서 저절로 나온다.
증명. 식 (3)에서 $f(x,y)=1$ (모든 $(x,y)$에 대해), $h_1(\theta)=0$, $h_2(\theta)=h(\theta)$로 두면 $f(r\cos\theta,r\sin\theta)=1$이므로
안쪽 적분은 $\theta$를 고정한 채 $r$의 원시함수 $r^2/2$를 두 끝점에서 계산하면 되므로
이를 대입하면
Area of a polar region. Taking $f(x,y)=1$, $h_1(\theta)=0$ and $h_2(\theta)=h(\theta)$ in Formula (3), the area of the region $D$ bounded by $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$ and $r=h(\theta)$ is
This is exactly Formula 10.4.3, the area formula obtained there for polar curves; here it drops out of the double integral as the special case $f=1$.
Proof. In Formula (3), take $f(x,y)=1$ for all $(x,y)$, $h_1(\theta)=0$ and $h_2(\theta)=h(\theta)$; then $f(r\cos\theta,r\sin\theta)=1$, so
For fixed $\theta$, the inner integral is the antiderivative $r^2/2$ of $r$ evaluated at the endpoints,
and substituting this gives
예제 3은 극좌표를 쓸 때 얻는 이득을 잘 보여준다. 직교좌표를 그대로 쓰면 같은 부피는
로 쓰이는데, 안쪽 적분을 마치고 나면 $\int\left(1-x^2\right)^{3/2}dx$가 남아 계산이 성가시다. 극좌표에서는 같은 계산이 초등적인 적분 두 번으로 끝난다.
극좌표로 바꾸어야 함을 알려주는 신호는 크게 두 가지이다. 하나는 영역이 원점을 중심으로 한 원, 또는 원점에서 뻗어나가는 반직선으로 둘러싸인 경우 — 원판·원환·부채꼴·장미곡선 등이다. 다른 하나는 피적분함수가 $x^2+y^2$의 꼴로 이루어진 경우인데, 이는 $r^2$이 되어 간단해지기 때문이다.
Example 3 shows what is gained. Kept in rectangular coordinates, the same volume would read
which is unpleasant because the inner integration leaves $\int\left(1-x^2\right)^{3/2}dx$. In polar coordinates the same computation is two elementary integrations.
Two signals suggest switching to polar coordinates: the region is bounded by circles centered at the origin, or by rays from it — a disk, a ring, a sector, a rose — or the integrand is built from $x^2+y^2$, since that becomes $r^2$.
예제 답안 · Worked Examples
$R$가 상반평면 $y\ge 0$에서 두 원 $x^2+y^2=1$과 $x^2+y^2=4$ 사이에 놓인 반원환일 때, 이중적분 $\iint_R\left(3x+4y^2\right)dA$의 값을 구하라.
풀이. 반원환 $R$을 극좌표로 기술하면 $R=\{(r,\theta)\mid 1\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi\}$인 극좌표 직사각형이므로 식 (2)를 바로 쓸 수 있다. $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$를 대입하면 $3x+4y^2=3r\cos\theta+4r^2\sin^2\theta$이고 $dA=r\,dr\,d\theta$이므로
피적분함수의 두 항이 각각 $r$만의 함수와 $\theta$만의 함수의 곱이므로, 직사각형 영역 위에서 이중적분을 두 개의 곱으로 분리할 수 있다.
첫째 항에서 $\int_0^\pi\cos\theta\,d\theta=\left[\sin\theta\right]_0^\pi=0$이므로 그 항은 사라진다. 둘째 항에서는 $\int_1^2 r^3\,dr=\left[\dfrac{r^4}{4}\right]_1^2=\dfrac{15}{4}$이고, 배각공식 $\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)$에 의해 $\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=\tfrac12\left[\theta-\tfrac12\sin2\theta\right]_0^\pi=\dfrac{\pi}{2}$이다. 이 값들을 모으면
따라서 $\displaystyle\iint_R(3x+4y^2)\,dA=\frac{15\pi}{2}$이다.
Let $R$ be the half-ring in the upper half-plane $y\ge 0$ lying between the circles $x^2+y^2=1$ and $x^2+y^2=4$. Evaluate the double integral $\iint_R\left(3x+4y^2\right)dA$.
Solution. In polar form the half-ring is the polar rectangle $R=\{(r,\theta)\mid 1\le r\le2,\ 0\le\theta\le\pi\}$, so Formula (2) applies directly. Substituting $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ gives $3x+4y^2=3r\cos\theta+4r^2\sin^2\theta$, and $dA=r\,dr\,d\theta$, so
Each term in the integrand is a function of $r$ times a function of $\theta$, so over this rectangular domain the double integral splits into a sum of two products:
In the first term the $\theta$-factor $\int_0^\pi\cos\theta\,d\theta=\left[\sin\theta\right]_0^\pi=0$ vanishes, so that term drops out. For the second, $\int_1^2 r^3\,dr=\left[\dfrac{r^4}{4}\right]_1^2=\dfrac{15}{4}$, and the double-angle identity $\sin^2\theta=\tfrac12(1-\cos2\theta)$ gives $\int_0^\pi\sin^2\theta\,d\theta=\tfrac12\left[\theta-\tfrac12\sin2\theta\right]_0^\pi=\dfrac{\pi}{2}$. Combining these,
Hence $\displaystyle\iint_R(3x+4y^2)\,dA=\frac{15\pi}{2}$.
반복적분
를 극좌표로 바꾸어 그 값을 구하라.
풀이. 바깥 적분의 한계 $-1\le x\le1$과 안쪽 적분의 한계 $0\le y\le\sqrt{1-x^2}$은 함께 상반 단위원판 $x^2+y^2\le1,\ y\ge0$을 기술한다. 극좌표로는 $D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\ 0\le\theta\le\pi\}$인 극좌표 직사각형이다. 피적분함수는 $x^2+y^2=r^2$이고 $dA=r\,dr\,d\theta$이므로
안쪽 적분과 바깥 적분이 모두 상수 한계를 가지므로 곱으로 분리하면 $\displaystyle\int_0^1 r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1=\frac14$이고 $\displaystyle\int_0^\pi d\theta=\pi$이다.
따라서 $\displaystyle\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\left(x^2+y^2\right)dy\,dx=\frac{\pi}{4}$이다.
Evaluate the iterated integral
by first converting it to polar coordinates.
Solution. The outer limits $-1\le x\le1$ together with the inner limits $0\le y\le\sqrt{1-x^2}$ describe the upper half of the unit disk, $x^2+y^2\le1$, $y\ge0$. In polar coordinates this is the polar rectangle $D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le1,\ 0\le\theta\le\pi\}$. Since $x^2+y^2=r^2$ and $dA=r\,dr\,d\theta$,
Both the inner and outer limits are constants, so the integral splits into a product: $\displaystyle\int_0^1 r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1=\frac14$ and $\displaystyle\int_0^\pi d\theta=\pi$, so
Hence $\displaystyle\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\left(x^2+y^2\right)dy\,dx=\frac{\pi}{4}$.
평면 $z=0$과 포물면 $z=1-x^2-y^2$으로 둘러싸인 입체의 부피를 구하라.
풀이. 입체는 평면 $z=0$ 위, 포물면 $z=1-x^2-y^2$ 아래에 놓인다. 두 곡면의 교선은 $1-x^2-y^2=0$, 즉 $x^2+y^2=1$이므로, 포물면이 평면 위쪽에 있는 $xy$-평면 영역은 단위원판 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}$이다. 이 원판 위에서 입체의 높이는 $z=1-x^2-y^2\ge0$이므로 부피는
$D$는 극좌표로 $0\le r\le1$, $0\le\theta\le2\pi$이고 $1-x^2-y^2=1-r^2$이므로
안쪽 적분은 $\displaystyle\int_0^1\left(r-r^3\right)dr=\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1=\frac12-\frac14=\frac14$이고, 이는 $\theta$에 무관하므로 바깥 적분은 단순히 $2\pi$를 곱한다.
따라서 구하는 부피는 $V=\dfrac{\pi}{2}$이다.
The plane $z=0$ and the paraboloid $z=1-x^2-y^2$ enclose a solid. Compute its volume.
Solution. The solid lies above the plane $z=0$ and below the paraboloid $z=1-x^2-y^2$. The two surfaces meet where $1-x^2-y^2=0$, i.e. $x^2+y^2=1$, so the region of the $xy$-plane over which the paraboloid sits above the plane is the unit disk $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1\}$. On this disk the height of the solid is $z=1-x^2-y^2\ge0$, so the volume is
In polar coordinates $D$ is $0\le r\le1$, $0\le\theta\le2\pi$, and $1-x^2-y^2=1-r^2$, so
The inner integral is $\displaystyle\int_0^1\left(r-r^3\right)dr=\left[\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{4}\right]_0^1=\frac12-\frac14=\frac14$, independent of $\theta$, so the outer integral just multiplies by $2\pi$:
Hence the volume is $V=\dfrac{\pi}{2}$.
네잎장미 $r=\cos 2\theta$의 한 잎이 둘러싸는 넓이를 이중적분을 이용하여 구하라.
풀이. $r=\cos2\theta$는 $\theta=0$에서 최댓값 $r=1$을 가지며, $\cos2\theta=0$이 되는 첫 값은 $\theta=\pm\pi/4$이다. $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$에서는 $2\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$이므로 $\cos2\theta\ge0$이고, $\theta$가 $-\pi/4$에서 $0$을 거쳐 $\pi/4$로 움직이는 동안 $r$은 $0$에서 $1$까지 커졌다가 다시 $0$으로 돌아온다. 즉 $\theta=0$ 방향의 잎 하나는 극영역
로 기술된다. 이중적분으로 넓이를 구하면
피적분함수 $\cos^2(2\theta)$는 $\theta$의 짝함수이므로 구간을 반으로 줄여 $A=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta$로 써도 된다. 배각공식 $\cos^2(2\theta)=\tfrac12(1+\cos4\theta)$를 쓰면
따라서 한 잎의 넓이는 $A=\dfrac{\pi}{8}$이다.
Set up a double integral for one loop of the four-leaved rose $r=\cos 2\theta$ and use it to compute the area that loop encloses.
Solution. The curve $r=\cos2\theta$ reaches its maximum $r=1$ at $\theta=0$ and first vanishes at $\theta=\pm\pi/4$. On $-\pi/4\le\theta\le\pi/4$ we have $2\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$, so $\cos2\theta\ge0$, and as $\theta$ sweeps from $-\pi/4$ through $0$ to $\pi/4$, $r$ grows from $0$ to $1$ and back to $0$. So the loop pointing along $\theta=0$ is the polar region
The area as a double integral is
The integrand $\cos^2(2\theta)$ is even in $\theta$, so this equals $A=\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta$ over the half interval. Using the double-angle identity $\cos^2(2\theta)=\tfrac12(1+\cos4\theta)$,
Hence the area of one petal is $A=\dfrac{\pi}{8}$.
위로는 포물면 $z=x^2+y^2$, 아래로는 $xy$-평면, 옆으로는 원기둥면 $x^2+y^2=2x$로 둘러싸인 입체의 부피를 구하라.
풀이. 원기둥면 $x^2+y^2=2x$는 $(x-1)^2+y^2=1$로 고쳐 쓰면 중심 $(1,0)$, 반지름 $1$인 원임을 알 수 있다. $x^2+y^2=r^2$, $x=r\cos\theta$를 대입하면 $r^2=2r\cos\theta$, 즉 $r=2\cos\theta$이다. $r\ge0$이려면 $\cos\theta\ge0$, 곧 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$이어야 하며, 이 범위에서 원판의 내부는
로 기술된다. 포물면의 높이는 $z=x^2+y^2=r^2$이므로 구하는 부피는
안쪽 적분은 $\displaystyle\int_0^{2\cos\theta} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2\cos\theta}=4\cos^4\theta$이다. 피적분함수 $\cos^4\theta$가 $\theta$의 짝함수이므로
배각공식을 두 번 적용하면 $\cos^4\theta=\left(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2=\dfrac38+\dfrac12\cos2\theta+\dfrac18\cos4\theta$이므로 $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta=\left[\frac38\theta+\frac14\sin2\theta+\frac1{32}\sin4\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac{3\pi}{16}$이고, 따라서
따라서 구하는 부피는 $V=\dfrac{3\pi}{2}$이다.
A solid is bounded above by the paraboloid $z=x^2+y^2$, below by the $xy$-plane, and laterally by the cylinder $x^2+y^2=2x$. Determine its volume.
Solution. Rewriting the cylinder $x^2+y^2=2x$ as $(x-1)^2+y^2=1$ shows it is the circle of radius $1$ centered at $(1,0)$. Substituting $x^2+y^2=r^2$, $x=r\cos\theta$ gives $r^2=2r\cos\theta$, i.e. $r=2\cos\theta$. Since $r\ge0$ requires $\cos\theta\ge0$, i.e. $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$, the interior of the disk is
The height of the paraboloid is $z=x^2+y^2=r^2$, so the volume is
The inner integral is $\displaystyle\int_0^{2\cos\theta} r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2\cos\theta}=4\cos^4\theta$. Since $\cos^4\theta$ is even in $\theta$,
Applying the double-angle identity twice, $\cos^4\theta=\left(\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2=\dfrac38+\dfrac12\cos2\theta+\dfrac18\cos4\theta$, so $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\,d\theta=\left[\frac38\theta+\frac14\sin2\theta+\frac1{32}\sin4\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac{3\pi}{16}$, and thus
Hence the volume is $V=\dfrac{3\pi}{2}$.
연결 · Links
(a) 강의 노트 대응 — 미적분학 2 단원 09
- 극좌표 변환과 일반 극영역에서의 반복적분 — ex05, yu05-3 (완전 대응: 공식 (3)과 같은 내용)
- 극좌표 넓이 공식 — yu05-1 (완전 대응)
- 극좌표로 부피 구하기 — yu05-2 (완전 대응: 예제 3·5와 같은 유형)
- 극좌표를 이용한 평균값 계산 — yu05-4, pr08 (인접: 평균값은 §15.1, 적분은 극좌표)
- 가우스 적분 등 극좌표의 심화 응용 — pr06, pr09, pr10 (교안 확장: 교재 §15.3 본문에는 없음)
- 임용 기출 문항 — pr14, pr16, pr17, pr18, pr19
- 극좌표 직사각형이라는 용어와 공식 (2), 넓이소 $\Delta A_i=r_i^*\Delta r\,\Delta\theta$의 유도 — 대응 없음 (교안은 일반 극영역만 다룸)
(b) 공통과제 (§15.3, 2차)
제출 문항: 11, 15, 30, 39, 41 / 학습 참고: 10, 12, 13, 16, 20, 21, 27, 28, 32, 34, 35, 36, 41, 42, 49
- 30번: 교재의 “above the ring”은 $xy$-평면에 놓인 ring 위쪽으로 읽는다.
- 35번: 교재의 “below the sphere”는 “inside the sphere”로 정정해 푼다.
- 29–31번의 “disk”와 “ring”은 모두 $xy$-평면의 disk·ring을 뜻한다.
(c) 이웃 절 — 이전: §15.2 일반 영역 위의 이중적분 / 다음: §15.4 이중적분의 응용
(a) Corresponding lecture notes — Calculus II, Unit 09
- Conversion to polar coordinates and iterated integrals over general polar regions — ex05, yu05-3 (full match with Formula (3))
- Area formula in polar coordinates — yu05-1 (full match)
- Volumes computed in polar coordinates — yu05-2 (full match; same type as Examples 3 and 5)
- Average values computed in polar coordinates — yu05-4, pr08 (adjacent: the average value itself belongs to Section 15.1)
- Gaussian integrals and other advanced uses of polar coordinates — pr06, pr09, pr10 (extra material, absent from Section 15.3)
- Past teacher-certification exam problems — pr14, pr16, pr17, pr18, pr19
- The term polar rectangle, Formula (2), and the derivation $\Delta A_i=r_i^*\,\Delta r\,\Delta\theta$ — no match (the lecture notes treat general polar regions only)
(b) Assignment (§15.3, second set)
Problems to submit: 11, 15, 30, 39, 41 / Recommended practice: 10, 12, 13, 16, 20, 21, 27, 28, 32, 34, 35, 36, 41, 42, 49
- No. 30: read the textbook's “above the ring” as above the ring lying in the $xy$-plane.
- No. 35: correct the textbook's “below the sphere” to “inside the sphere”.
- Nos. 29–31: the words “disk” and “ring” refer to a disk and a ring in the $xy$-plane.
(c) Neighboring sections — Previous: §15.2 Double Integrals over General Regions / Next: §15.4 Applications of Double Integrals