개념 해석 · Concepts
1변수 적분에서 계산을 간단히 만드는 표준적인 방법이 치환이다. 치환법칙(4.5.5)에서 $x$와 $u$의 역할을 서로 바꾸어 쓰면 다음과 같다.
여기서 $x=g(u)$이고, 양 끝점은 $a=g(c)$, $b=g(d)$로 대응한다. 도함수를 라이프니츠 표기로 쓰면 같은 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
이 절 전체는 바로 이 식 (2)를 이변수·삼변수로 확장한 내용이다. 변수변환은 이중적분과 삼중적분에서도 똑같이 유용하며, $dx/du$ 자리를 대신할 인자를 찾아내는 것이 이 절의 목표이다.
A substitution is the standard device for simplifying a one-variable integral. If in the Substitution Rule (4.5.5) the roles of $x$ and $u$ are interchanged, the rule reads
where $x=g(u)$ and the endpoints correspond as $a=g(c)$, $b=g(d)$. Writing the derivative in Leibniz notation gives the same statement in the form
The whole of this section is the two- and three-variable version of formula (2): a change of variables is just as useful for double and triple integrals, and the factor that replaces $dx/du$ is the object we are after.
이중적분에 대한 변수변환은 이미 §15.3에서 만난 적이 있다. 극좌표 치환 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$가 $\iint_R f(x,y)\,dA$를 $r\theta$-평면의 대응 영역 $S$ 위의 적분으로 바꾸어 준 것이 그 예다. 일반적인 틀은 이 특정한 치환을 두 평면 사이의 임의의 사상으로 확장한 것이다.
식 (3) — 변환. $uv$-평면에서 $xy$-평면으로 가는 변환 $T$란 정의역과 치역이 모두 $\mathbb{R}^2$의 부분집합인 함수 $T(u,v)=(x,y)$로서, 다음과 같은 한 쌍의 식으로 나타난다.
(흔히 $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$로 줄여 쓴다.) $g$와 $h$가 모두 연속인 1계 편도함수를 가질 때 $T$를 $C^1$ 변환이라 한다.
$T(u_1,v_1)=(x_1,y_1)$이면 $(x_1,y_1)$을 $(u_1,v_1)$의 상이라 한다. 서로 다른 두 점이 결코 같은 상을 갖지 않으면 $T$는 일대일이며, 이때 $xy$-평면에서 $uv$-평면으로 돌아가는 역변환 $T^{-1}$이 존재하여 식 (3)을 새 변수에 대해 풀 수도 있다.
$uv$-평면의 영역 $S$는, $S$의 모든 점의 상을 모은 집합 $R=T(S)$로 옮겨지며, 이 $R$을 $S$의 상이라 한다.
One change of variables for double integrals is already familiar: the polar substitution $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ of Section 15.3, which rewrites $\iint_R f(x,y)\,dA$ as an integral over the corresponding region $S$ of the $r\theta$-plane. The general setting replaces that particular substitution by an arbitrary map between two planes.
Equations (3) — transformation. A transformation $T$ from the $uv$-plane to the $xy$-plane is a function $T(u,v)=(x,y)$, with domain and range contained in $\mathbb{R}^2$, described by a pair of equations
(often abbreviated $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$). $T$ is called a $C^1$ transformation when $g$ and $h$ both have continuous first-order partial derivatives.
If $T(u_1,v_1)=(x_1,y_1)$, then $(x_1,y_1)$ is the image of $(u_1,v_1)$. Should no two points ever share an image, $T$ is one-to-one; it then has an inverse transformation $T^{-1}$ running from the $xy$-plane back to the $uv$-plane, and one may be able to solve Equations (3) for the new variables:
A region $S$ of the $uv$-plane is carried to the set $R=T(S)$ made up of the image of every point of $S$; this region $R$ is called the image of $S$.
변수변환이 이중적분에 어떤 영향을 주는지 보려면, 작은 직사각형 하나가 변환 아래에서 어떻게 되는지 따라가 보면 된다. $S$를 $uv$-평면의 직사각형이라 하고, 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(u_0,v_0)$, 두 변의 길이를 각각 $\Delta u$, $\Delta v$라 하자. 그 상 $R=T(S)$는 경계점 $(x_0,y_0)=T(u_0,v_0)$을 갖는다. 식 (3)의 두 식을 상의 위치벡터로 모으면
$S$의 아래쪽 변은 직선 $v=v_0$이므로, 그 상은 $\mathbf r(u,v_0)$가 그리는 곡선이고, 이 곡선이 $(x_0,y_0)$에서 갖는 접벡터는
왼쪽 변 $u=u_0$도 같은 방식으로 다루면 두 번째 접벡터를 얻는다.
$R$의 첫 근사는 두 할선벡터가 만드는 평행사변형이다.
$\mathbf r_u$는 정의상 $\Delta u\to0$일 때 $\mathbf a/\Delta u$의 극한이고 $\mathbf b$도 마찬가지이므로, 할선벡터를 $\mathbf a\approx\Delta u\,\mathbf r_u$, $\mathbf b\approx\Delta v\,\mathbf r_v$로 바꾸어 써도 된다. 따라서 $R$은 $\Delta u\,\mathbf r_u$와 $\Delta v\,\mathbf r_v$가 정하는 평행사변형으로 근사되며, 그 넓이는 §12.4의 외적으로 계산된다.
To see what a change of variables does to a double integral, follow one small rectangle. Let $S$ be a rectangle in the $uv$-plane whose lower left corner is $(u_0,v_0)$ and whose sides have lengths $\Delta u$ and $\Delta v$; its image $R=T(S)$ has the boundary point $(x_0,y_0)=T(u_0,v_0)$. Collect the two equations (3) into a position vector for the image point,
The bottom edge of $S$ is the line $v=v_0$, so its image is the curve traced by $\mathbf r(u,v_0)$, and the tangent vector to that curve at $(x_0,y_0)$ is
The left edge $u=u_0$ is handled the same way and produces the second tangent vector
A first approximation of $R$ is the parallelogram spanned by the two secant vectors
Since $\mathbf r_u$ is by definition the limit of $\mathbf a/\Delta u$ as $\Delta u\to0$, and likewise for $\mathbf b$, we may replace the secant vectors by $\mathbf a\approx\Delta u\,\mathbf r_u$ and $\mathbf b\approx\Delta v\,\mathbf r_v$. So $R$ is approximated by the parallelogram determined by $\Delta u\,\mathbf r_u$ and $\Delta v\,\mathbf r_v$, whose area is computed with the cross product of Section 12.4:
정의 7 — 야코비안. $T$를 $x=g(u,v)$, $y=h(u,v)$로 주어지는 변환이라 하자. $T$의 야코비안은 다음 행렬식이다.
왼쪽의 기호는 함수 $g,h$가 아니라 두 쌍의 변수 자체를 가리킨다. 옛 변수 $x,y$는 위쪽에, 새 변수 $u,v$는 아래쪽에 놓이고, 행렬식의 각 행은 $x$와 $y$의 기울기 벡터에 해당한다. 이 행렬식은 임의로 도입된 것이 아니라, 앞 카드에서 나온 외적 $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$가 만들어 내는 바로 그 양이다.
이 이름은 독일 수학자 카를 구스타프 야코프 야코비(Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804–1851)에서 왔다. 편도함수로 이루어진 이런 행렬식은 이미 코시가 사용한 바 있지만, 이를 다중적분을 계산하는 실질적인 방법으로 발전시킨 사람은 야코비였다.
Definition 7 — the Jacobian. Let $T$ be the transformation given by $x=g(u,v)$ and $y=h(u,v)$. The Jacobian of $T$ is the determinant
The symbol on the left names the two pairs of variables rather than the functions $g$ and $h$: the old variables $x,y$ go on top, the new variables $u,v$ underneath, and the rows of the determinant are the gradients of $x$ and of $y$. This determinant is not introduced arbitrarily — it is exactly the quantity produced by the cross product $\mathbf r_u\times\mathbf r_v$ of the previous card.
The name honors the German mathematician Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851). Determinants of partial derivatives had already been used by Cauchy, but it was Jacobi who developed them into a working method for evaluating multiple integrals.
두 접벡터는 모두 $xy$-평면에 놓이므로, 그 외적은 $\mathbf k$ 방향의 성분 하나만을 갖는다.
따라서 그 크기는 야코비안의 절댓값과 같고, (6)은 상 영역 $R$의 넓이 $\Delta A$에 대한 근삿값이 된다.
여기서 야코비안은 모서리 $(u_0,v_0)$에서 계산한다. 기하학적으로 $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|$는 $T$가 그 점 근방에서 넓이를 얼마나 확대 또는 축소하는지를 나타내는 국소 확대율이다. 절댓값 기호는 장식이 아니다. $T$가 방향을 뒤집는 곳에서는 이 행렬식 자체가 음수가 되지만, 넓이는 결코 음수일 수 없기 때문이다.
Both tangent vectors lie in the $xy$-plane, so their cross product points along $\mathbf k$ and carries a single component:
Its length is therefore the absolute value of the Jacobian, and (6) becomes an estimate for the area $\Delta A$ of the image region $R$:
with the Jacobian evaluated at the corner $(u_0,v_0)$. Geometrically the number $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|$ is the local magnification factor for area under $T$. The absolute value bars are not decoration: the determinant itself is negative whenever $T$ reverses orientation, and areas are never negative.
정리 9 — 이중적분의 변수변환. $T$를 야코비안이 결코 $0$이 되지 않는 $C^1$ 변환이라 하고, $T$가 $uv$-평면의 영역 $S$를 $xy$-평면의 영역 $R$ 위로 보낸다고 하자. 다음을 추가로 가정한다.
- $f$는 $R$에서 연속이고,
- $R$과 $S$는 제1형 또는 제2형 평면 영역이며,
- $T$는 $S$의 경계 위의 점을 예외로 하고 일대일이다.
그러면 다음 두 적분은 같다.
본문은 이 정리를 완전히 증명하는 대신 타당성만을 보이는 논증을 제시한다. $S$를 작은 직사각형 $S_{ij}$들로 나누고 그 상을 $R_{ij}$라 하면, 각 $R_{ij}$에 넓이 근사식 (8)을 적용하여 얻은 이중합이 (9)의 우변에 대한 리만 합임을 알 수 있다. 그 근사의 오차까지 통제하는 완전한 증명은 고등미적분학 교재에서 다룬다.
증명. $S$를 품는 직사각형 $[u_1,u_2]\times[v_1,v_2]$를 변의 길이가 $\Delta u=(u_2-u_1)/m$, $\Delta v=(v_2-v_1)/n$인 $mn$개의 작은 직사각형으로 나누고, 그중 $S$ 안에 놓인 것들을 $S_{ij}$, 그 왼쪽 아래 꼭짓점을 $(u_i,v_j)$라 하자. ($S$의 경계에 걸쳐 잘리는 직사각형들의 기여는 분할을 잘게 하면 사라진다.) $T$가 $C^1$이므로 앞선 두 카드의 논증이 $S_{ij}$에도 그대로 적용되어, 그 상 $R_{ij}=T(S_{ij})$은 $(u_i,v_j)$에서의 접벡터 $\Delta u\,\mathbf r_u$, $\Delta v\,\mathbf r_v$가 정하는 평행사변형으로 일차 근사되고, (8)에 의해 그 넓이는
로 근사된다. 야코비안이 결코 $0$이 되지 않는다는 가정 덕분에 이 평행사변형은 실제로 넓이를 갖는 비퇴화 사각형이다. 또한 $T$가 $S$의 경계를 예외로 하고 일대일이므로, 서로 다른 $R_{ij}$는 이웃한 $S_{ij}$가 공유하는 변의 상인 유한개의 곡선을 따라서만 만나고, 이들이 함께 $R$을 뒤덮는다. 각 $R_{ij}$ 안에서 표본점 $(x_i^*,y_j^*)=T(u_i,v_j)$를 고르면
를 얻는다. $R$이 제1형 또는 제2형 영역이고 $f$가 $R$에서 연속이므로, 좌변은 분할을 잘게 할 때 $\iint_R f(x,y)\,dA$로 수렴하는 리만 합이다. 우변에서는 $f\circ T$와 야코비안이 모두 $S$ 위의 연속함수이므로, 같은 분할의 극한에서 우변은 $uv$-평면 위의 이중적분 $\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|du\,dv$로 수렴한다. 두 극한이 하나의 같은 근사 과정에서 나온 것이므로
가 성립한다. 근사 (8)의 오차가 분할을 잘게 할수록 이중합에 기여하지 않고 고르게 사라짐을 보이는 일은 고등미적분학 교재의 몫으로 남긴다.
Theorem 9 — Change of Variables in a Double Integral. Let $T$ be a $C^1$ transformation whose Jacobian never vanishes, carrying a region $S$ of the $uv$-plane onto a region $R$ of the $xy$-plane. Assume in addition that
- $f$ is continuous on $R$,
- $R$ and $S$ are plane regions of Type I or Type II, and
- $T$ is one-to-one, with the possible exception of points on the boundary of $S$.
Then the two integrals below agree:
The text supports the theorem with a plausibility argument rather than a proof: cut $S$ into rectangles $S_{ij}$, call their images $R_{ij}$, apply the area estimate (8) to each of them, and recognize the resulting double sum as a Riemann sum for the right-hand side of (9). A complete proof, which must control the error in that estimate, is given in advanced calculus texts.
Proof. Enclose $S$ in a rectangle $[u_1,u_2]\times[v_1,v_2]$ and cut that rectangle into $mn$ small rectangles with sides $\Delta u=(u_2-u_1)/m$ and $\Delta v=(v_2-v_1)/n$; write $S_{ij}$ for those that lie inside $S$, and $(u_i,v_j)$ for the lower-left corner of $S_{ij}$. (The rectangles straddling the boundary of $S$ contribute nothing in the limit.) Because $T$ is $C^1$, the argument of the two preceding cards applies verbatim to each $S_{ij}$: its image $R_{ij}=T(S_{ij})$ is approximated to first order by the parallelogram spanned by the tangent vectors $\Delta u\,\mathbf r_u$ and $\Delta v\,\mathbf r_v$ evaluated at $(u_i,v_j)$, and by (8) its area satisfies
The hypothesis that the Jacobian never vanishes guarantees that this parallelogram is genuinely nondegenerate. Since $T$ is one-to-one apart from boundary points of $S$, the images $R_{ij}$ overlap only along a finite union of curves and together tile $R$. Choosing a sample point $(x_i^*,y_j^*)=T(u_i,v_j)$ in each $R_{ij}$ gives
Because $R$ is a Type I or Type II region and $f$ is continuous on $R$, the left side is a Riemann sum converging, as the partition is refined, to $\iint_R f(x,y)\,dA$. On the right, $f\circ T$ and the Jacobian are both continuous functions of $(u,v)$ on $S$, so under the same refinement the right side converges to the double integral $\iint_S f(x(u,v),y(u,v))\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|du\,dv$. Since both limits arise from one and the same refining process,
Showing that the error in estimate (8) contributes nothing in the limit, uniformly as the partition is refined, is left to an advanced calculus text.
실제로 정리 9를 적용하는 과정은 두 단계로 이루어진다. 먼저 $f$ 안의 $x,y$를 새 변수로 바꾸어 쓰고, 그다음 넓이소를 다음으로 교체한다.
이를 1변수 공식 (2)와 나란히 놓아 보자. 그곳에서는 피적분함수에 $dx/du$라는 인자가 붙었는데, 여기서는 야코비안의 절댓값이 그 자리를 대신한다. 즉 $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|$는 도함수의 정확한 이차원 대응물이다. 절댓값 기호가 바로 유일한 차이를 드러낸다. 1변수에서는 $g'$이 음수이면 적분 한계 $c,d$의 순서가 이를 보정해 주지만, 이중적분은 방향이 없는 영역 위에서 이루어지므로 확대율의 크기만이 들어갈 수 있다.
In practice Theorem 9 is a recipe with two steps: express $x$ and $y$ in terms of the new variables inside $f$, and then replace the area element by
Set this beside the one-variable formula (2). There the integrand acquired the factor $dx/du$; here it acquires the absolute value of the Jacobian, so $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|$ is the exact two-dimensional counterpart of the derivative. The bars mark the one real difference: in one variable a negative $g'$ is compensated by the order of the limits $c$ and $d$, whereas a double integral is taken over a region with no such orientation, so only the size of the magnification factor can enter.
정리 9를 가장 먼저 시험해 볼 대상은 극좌표 치환이며, 정리는 이를 그대로 재현해야 한다. $r\theta$-평면에서 $xy$-평면으로 가는 변환 $T$를 다음과 같이 정의하자.
기하학적으로 $T$는 $r\theta$-평면의 보통 직사각형 $a\le r\le b$, $\alpha\le\theta\le\beta$를, 원호 $r=a$, $r=b$와 반직선 $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$로 둘러싸인 극좌표 직사각형 위로 보낸다. 그 야코비안은
이므로 절댓값 기호를 그냥 떼어 낼 수 있고, (9)는 다음이 된다.
이것이 바로 공식 15.3.2이다. 모든 극좌표 적분에 따라붙는 여분의 인자 $r$은 다름 아닌 야코비안인 것이다.
The first test of Theorem 9 is the polar substitution, which it must reproduce. Take $T$ from the $r\theta$-plane to the $xy$-plane defined by
Geometrically $T$ sends an ordinary rectangle $a\le r\le b$, $\alpha\le\theta\le\beta$ of the $r\theta$-plane onto the polar rectangle bounded by the arcs $r=a$, $r=b$ and the rays $\theta=\alpha$, $\theta=\beta$. Its Jacobian is
so the absolute value bars may simply be dropped, and (9) becomes
which is Formula 15.3.2. The extra factor $r$ carried along in every polar integral is nothing but a Jacobian.
예제 2가 손쉽게 풀리는 것은 순전히 치환이 문제에서 미리 주어졌기 때문이다. 변환이 주어지지 않을 때는 변환을 스스로 고안하는 일이 문제 풀이의 진짜 첫걸음이며, 적분의 두 가지 특징이 그 방향을 알려준다.
(a) 계산을 가로막는 것이 피적분함수 $f(x,y)$ 자체라면, 대개 그 꼴이 새 변수를 알려준다 — 예제 3에서 $e^{(x+y)/(x-y)}$의 지수가 $u=x+y$, $v=x-y$를 요구하는 것이 그 예다.
(b) 반대로 적분 영역 $R$이 다루기 까다로운 쪽이라면, $R$에 대응하는 $uv$-평면의 영역 $S$가 간단히 — 되도록 직사각형으로 — 기술되도록 $T$를 고른다.
Example 2 costs little effort only because the substitution is handed over in the statement. When no transformation is supplied, inventing one is the first and the real step of the problem, and two features of the integral point the way.
(a) If the integrand $f(x,y)$ is what obstructs the computation, its own form usually names the new variables — the exponent of $e^{(x+y)/(x-y)}$ in Example 3 asks for $u=x+y$ and $v=x-y$.
(b) If instead the region of integration $R$ is the awkward part, choose $T$ so that the region $S$ answering to $R$ in the $uv$-plane admits a convenient description — ideally a rectangle.
삼중적분도 같은 방식으로 다룬다. $T$를 $uvw$-공간의 영역 $S$를 $xyz$-공간의 영역 $R$ 위로 보내는 일대일 변환이라 하고, 다음 식으로 주어진다고 하자.
식 (12) — 공간 변환의 야코비안. 이러한 $T$의 야코비안은 다음 $3\times3$ 행렬식이다.
(7)의 패턴이 그대로 이어진다. 각 행은 옛 변수 하나를 미분한 것이고, 각 열은 새 변수 하나에 대해 미분한 것이다.
Triple integrals are treated in the same fashion. Let $T$ be a one-to-one transformation carrying a region $S$ of $uvw$-space onto a region $R$ of $xyz$-space by means of
Equation (12) — the Jacobian of a transformation of space. The Jacobian of such a $T$ is the $3\times3$ determinant
The pattern of (7) survives unchanged: each row differentiates one old variable, each column differentiates with respect to one new variable.
공식 (13) — 삼중적분의 변수변환. 정리 9와 나란한 가정 아래 — 야코비안이 $0$이 아닌 $C^1$ 변환 $T$, 경계 위의 점을 예외로 하는 일대일성, $f$가 $R$에서 연속 — 다음이 성립한다.
따라서 부피소를 바꾸는 규칙은 $dV=\left|\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w)\right|du\,dv\,dw$이다. 논증은 평면의 경우를 차원 하나 높여 그대로 되풀이한다. $uvw$-공간의 작은 직육면체의 상은 일차 근사로 $\Delta u\,\mathbf r_u$, $\Delta v\,\mathbf r_v$, $\Delta w\,\mathbf r_w$가 만드는 평행육면체이고, 그 부피는 삼중 스칼라곱 $\mathbf r_u\cdot(\mathbf r_v\times\mathbf r_w)$의 절댓값 — 곧 행렬식 (12)의 절댓값 — 이다.
증명. 정리 9의 논증을 세 변수로 옮겨 그대로 수행한다. 자세한 내용은 고등미적분학 교재를 참조하라.
Formula (13) — Change of Variables in a Triple Integral. Under hypotheses parallel to those of Theorem 9 — a $C^1$ transformation $T$ with nonvanishing Jacobian, one-to-one apart from boundary points, and $f$ continuous on $R$ — one has
So the rule for the volume element is $dV=\left|\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w)\right|du\,dv\,dw$. The reasoning repeats that of the plane case one dimension higher: a small box in $uvw$-space has as image, to first order, the parallelepiped spanned by $\Delta u\,\mathbf r_u$, $\Delta v\,\mathbf r_v$ and $\Delta w\,\mathbf r_w$, and the volume of that parallelepiped is the absolute value of the triple scalar product $\mathbf r_u\cdot(\mathbf r_v\times\mathbf r_w)$ — that is, of the determinant (12).
Proof: the argument behind Theorem 9, carried out in three variables; see an advanced calculus text.
정리 9의 내용은 두 그림으로 요약된다. 첫 번째 그림은 작은 직사각형 하나의 상을 보여준다. 벡터 $\Delta u\,\mathbf r_u$와 $\Delta v\,\mathbf r_v$가 만드는 평행사변형이 $R=T(S)$를 일차 근사로 재현하며, (8)에 의해 그 넓이는 $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|\Delta u\,\Delta v$이다.
두 번째 그림은 $S$ 위에 격자를 올려놓는다. 격자를 이루는 직사각형 $S_{ij}$들의 상 $R_{ij}$는 $R$을 뒤덮는데, 일반적으로 굽어 있고 크기도 제각각이다. 각 $\Delta A_{ij}$를 (8)로 근사하면
가 되어 $uv$-평면 위의 보통 리만 합으로 바뀌고, 격자를 잘게 쪼개면 (9)를 얻는다. 두 그림이 말하는 바는 결국 하나다. 야코비안은 $T$가 점마다 넓이를 얼마나 늘리는지 재는 양이며, 이것이 변수변환 공식의 전부이다.
Two pictures carry the whole of Theorem 9. The first shows the image of one small rectangle: the vectors $\Delta u\,\mathbf r_u$ and $\Delta v\,\mathbf r_v$ span a parallelogram that matches $R=T(S)$ to first order, and its area is $\left|\partial(x,y)/\partial(u,v)\right|\Delta u\,\Delta v$ by (8).
The second picture puts a grid on $S$: the rectangles $S_{ij}$ of the grid have images $R_{ij}$ that tile $R$, generally curved and of unequal size. Estimating each $\Delta A_{ij}$ by (8) turns
into an ordinary Riemann sum over the $uv$-plane, and letting the grid shrink gives (9). The moral of both pictures is the same: the Jacobian measures how much $T$ stretches area from point to point, and that is the entire content of the change of variables formula.
예제 답안 · Worked Examples
$T$를 $x=u^2-v^2$, $y=2uv$로 주어지는 변환이라 하자. 단위정사각형 $S=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\ 0\le v\le 1\}$에 대하여 상 $T(S)$를 구하고, 그 영역을 그려라.
풀이. $S$의 네 변을 각각 따라가며 상을 구한다.
아래쪽 변 $S_1$: $v=0,\ 0\le u\le1$에서 $x=u^2,\ y=0$이므로 상은 $x$축 위의 선분 $0\le x\le1$이다.
오른쪽 변 $S_2$: $u=1,\ 0\le v\le1$에서 $x=1-v^2,\ y=2v$이다. $v=y/2$를 대입하면 $x=1-y^2/4$ ($0\le y\le2$)를 얻는다 — $(1,0)$에서 $(0,2)$까지 이어지는 포물선 호이다.
위쪽 변 $S_3$: $v=1,\ 0\le u\le1$에서 $x=u^2-1,\ y=2u$이다. $u=y/2$를 대입하면 $x=y^2/4-1$ ($0\le y\le2$)을 얻는다 — $(0,2)$에서 $(-1,0)$까지 이어지는 포물선 호이다.
왼쪽 변 $S_4$: $u=0,\ 0\le v\le1$에서 $x=-v^2,\ y=0$이므로 상은 $x$축 위의 선분 $-1\le x\le0$이다.
$S_1$과 $S_4$는 함께 $x$축 위의 선분 $-1\le x\le1$을 이루고, $S_2$와 $S_3$은 $(0,2)$에서 만나는 두 포물선 호를 이룬다. $S$의 경계를 $(u,v)=(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)$ 순으로 반시계 방향으로 돌면, 그 상도 $(0,0)\to(1,0)\to(0,2)\to(-1,0)\to(0,0)$ 순으로 반시계 방향을 유지하며 돈다. 따라서 상 $R=T(S)$는
즉 $x$축 위의 구간 $[-1,1]$과 두 포물선 $x=1-y^2/4$, $x=y^2/4-1$로 둘러싸이고 꼭짓점이 $(-1,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$인 영역이다.
Let $T$ be the map $x=u^2-v^2$, $y=2uv$. Determine the image $T(S)$ of the unit square $S=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\ 0\le v\le 1\}$ and sketch it.
Solution. Track the image of each of the four sides of $S$ in turn.
Bottom side $S_1$: $v=0,\ 0\le u\le1$ gives $x=u^2,\ y=0$, so its image is the segment $0\le x\le1$ on the $x$-axis.
Right side $S_2$: $u=1,\ 0\le v\le1$ gives $x=1-v^2,\ y=2v$. Substituting $v=y/2$ yields $x=1-y^2/4$ for $0\le y\le2$ — an arc of a parabola running from $(1,0)$ to $(0,2)$.
Top side $S_3$: $v=1,\ 0\le u\le1$ gives $x=u^2-1,\ y=2u$. Substituting $u=y/2$ yields $x=y^2/4-1$ for $0\le y\le2$ — an arc running from $(0,2)$ to $(-1,0)$.
Left side $S_4$: $u=0,\ 0\le v\le1$ gives $x=-v^2,\ y=0$, so its image is the segment $-1\le x\le0$ on the $x$-axis.
Together $S_1$ and $S_4$ trace out the full segment $-1\le x\le1$ of the $x$-axis, while $S_2$ and $S_3$ trace two parabolic arcs meeting at $(0,2)$. Traversing the boundary of $S$ counterclockwise as $(u,v)=(0,0)\to(1,0)\to(1,1)\to(0,1)\to(0,0)$ carries its image around counterclockwise as well: $(0,0)\to(1,0)\to(0,2)\to(-1,0)\to(0,0)$. Hence the image $R=T(S)$ is
the region with vertices $(-1,0)$, $(1,0)$, $(0,2)$ bounded below by the segment $[-1,1]$ of the $x$-axis and above by the two parabolas $x=1-y^2/4$ and $x=y^2/4-1$.
변수변환 $x=u^2-v^2$, $y=2uv$를 이용하여 적분 $\displaystyle\iint_R y\,dA$를 계산하라. 여기서 $R$은 $x$축과 두 포물선 $y^2=4-4x$, $y^2=4+4x$로 둘러싸인 영역이고 $y\ge0$이다.
풀이. 앞 카드(예제 1)에서 확인했듯, 이 영역 $R$은 정확히 변환 $T(u,v)=(u^2-v^2,\,2uv)$가 단위정사각형 $S=[0,1]\times[0,1]$을 보내는 상이다 — 예제 1의 경계 곡선 $x=1-y^2/4$, $x=y^2/4-1$이 이 문제의 두 포물선 $y^2=4-4x$, $y^2=4+4x$와 같은 곡선이기 때문이다. 따라서 정리 9로 적분을 $S$ 위로 옮길 수 있다. 야코비안은
이며 $S$ 위에서 원점을 제외하면 항상 양수이므로 절댓값 기호를 그냥 떼어 낼 수 있다. (야코비안이 $0$이 되는 점은 꼭짓점 $(u,v)=(0,0)$ 하나뿐이고 이는 넓이 $0$인 집합이므로, 정리 9를 적용하는 데에는 지장이 없다.) $y=2uv$를 대입하면
$v$를 고정하고 안쪽 적분을 먼저 계산하면 $\displaystyle\int_0^1\left(8u^3v+8uv^3\right)du=\Big[2u^4v+4u^2v^3\Big]_0^1=2v+4v^3$이고, 이를 다시 $v$에 대해 적분하면
따라서 $\displaystyle\iint_R y\,dA=2$이다.
Take the substitution $x=u^2-v^2$, $y=2uv$ and use it to compute $\displaystyle\iint_R y\,dA$, where $R$ is the region with $y\ge 0$ that the $x$-axis and the two parabolas $y^2=4-4x$ and $y^2=4+4x$ enclose.
Solution. The preceding card (Example 1) shows that this region $R$ is exactly the image of the unit square $S=[0,1]\times[0,1]$ under $T(u,v)=(u^2-v^2,\,2uv)$ — the bounding curves $x=1-y^2/4$ and $x=y^2/4-1$ found there are the very curves $y^2=4-4x$ and $y^2=4+4x$ named here. So Theorem 9 carries the integral over to $S$. The Jacobian is
which is positive on $S$ except at the origin, so the absolute value bars can simply be dropped. (The Jacobian vanishes only at the single corner $(u,v)=(0,0)$, a set of area zero, so Theorem 9 still applies.) Substituting $y=2uv$ gives
Holding $v$ fixed, the inner integral is $\displaystyle\int_0^1\left(8u^3v+8uv^3\right)du=\Big[2u^4v+4u^2v^3\Big]_0^1=2v+4v^3$, and integrating this in $v$ gives
Hence $\displaystyle\iint_R y\,dA=2$.
네 꼭짓점이 $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,-2)$, $(0,-1)$인 사다리꼴 영역을 $R$라 할 때, 적분 $\displaystyle\iint_R e^{(x+y)/(x-y)}\,dA$의 값을 구하라.
풀이. 피적분함수의 지수 $(x+y)/(x-y)$가 곧바로 새 변수를 알려준다 — $u=x+y$, $v=x-y$로 두면 지수는 단순히 $u/v$가 된다. 이를 $x,y$에 대해 풀면
$R$의 네 변을 이 대응으로 옮겨 보자. 위쪽 변 $y=0$은 $u=x=v$, 즉 $u=v$가 되고, $(2,0)$에서 $(0,-2)$로 가는 변 $x-y=2$는 $v=2$, $(0,-1)$에서 $(1,0)$으로 가는 변 $x-y=1$은 $v=1$, 왼쪽 변 $x=0$은 $u=y=-v$, 즉 $u=-v$가 된다. 네 꼭짓점 $(1,0),(2,0),(0,-2),(0,-1)$은 각각 $(1,1),(2,2),(-2,2),(-1,1)$로 옮겨지므로, $R$에 대응하는 $S$는
인 사다리꼴이다. 야코비안은
이므로 절댓값은 $1/2$이다. 정리 9에 의해
$v$를 고정하고 $u$에 대해 먼저 적분하면 $\displaystyle\int_{-v}^{v}e^{u/v}\,du=v\Big[e^{u/v}\Big]_{-v}^{v}=v\left(e-e^{-1}\right)$이고, 이를 $v$에 대해 적분하면
따라서 $\displaystyle\iint_R e^{(x+y)/(x-y)}\,dA=\frac34\left(e-e^{-1}\right)$이다.
Let $R$ be the trapezoid whose four corners are $(1,0)$, $(2,0)$, $(0,-2)$ and $(0,-1)$. Compute $\displaystyle\iint_R e^{(x+y)/(x-y)}\,dA$.
Solution. The exponent $(x+y)/(x-y)$ of the integrand names the new variables at once: setting $u=x+y$, $v=x-y$ turns the exponent into the plain ratio $u/v$. Solving for $x,y$ gives
Carry the four sides of $R$ across this map. The top side $y=0$ becomes $u=x=v$, i.e. $u=v$; the side $x-y=2$ from $(2,0)$ to $(0,-2)$ becomes $v=2$; the side $x-y=1$ from $(0,-1)$ to $(1,0)$ becomes $v=1$; and the left side $x=0$ becomes $u=y=-v$, i.e. $u=-v$. The four corners $(1,0),(2,0),(0,-2),(0,-1)$ land at $(1,1),(2,2),(-2,2),(-1,1)$, so the region $S$ corresponding to $R$ is the trapezoid
The Jacobian is
so its absolute value is $1/2$. By Theorem 9,
With $v$ held fixed, the inner integral is $\displaystyle\int_{-v}^{v}e^{u/v}\,du=v\Big[e^{u/v}\Big]_{-v}^{v}=v\left(e-e^{-1}\right)$, and integrating this in $v$ gives
Hence $\displaystyle\iint_R e^{(x+y)/(x-y)}\,dA=\frac34\left(e-e^{-1}\right)$.
공식 (13)에서 출발하여 구면좌표에서의 삼중적분 공식을 유도하라. 여기서 쓰는 변수변환은 다음과 같다.
증명. 세 함수의 편도함수를 계산하면
이므로 (12)의 야코비안은 다음 $3\times3$ 행렬식이다.
세 번째 행에 $0$ 성분이 있으므로 이 행을 따라 전개하는 것이 가장 간단하다.
첫 번째 $2\times2$ 행렬식은
이고, 두 번째 $2\times2$ 행렬식은
이다. 이 두 값을 대입하면
를 얻는다. $0\le\phi\le\pi$에서 $\sin\phi\ge0$이므로 $\left|\partial(x,y,z)/\partial(\rho,\theta,\phi)\right|=\rho^2\sin\phi$이고, 공식 (13)에 대입하면
를 얻으며, 이는 §15.8의 구면좌표 삼중적분 공식(공식 15.8.3)과 정확히 일치한다.
Starting from Formula (13), obtain the rule for triple integration in spherical coordinates. The change of variables at hand is
Proof. Differentiating each of $x,y,z$ with respect to $\rho,\theta,\phi$ gives
so the Jacobian (12) is the determinant
The zero entry in the third row makes expansion along that row the shortest route:
The first $2\times2$ determinant works out to
and the second to
Substituting these values gives
Since $\sin\phi\ge0$ on $0\le\phi\le\pi$, $\left|\partial(x,y,z)/\partial(\rho,\theta,\phi)\right|=\rho^2\sin\phi$, and Formula (13) becomes
exactly the spherical-coordinate triple integration formula of Section 15.8 (Formula 15.8.3).
연결 · Links
(a) 강의 노트 대응 — 미적분학 2 단원 09 · 단원 10
- 이중적분의 변수변환 계산 — ex06, yu06, pr20(임용 18A-4) (부분 대응: 변환이 문제에 주어진 계산형만)
- 삼중적분의 변수변환($3\times3$ 야코비안) — ex05, yu05-1, yu05-2 (부분 대응)
- 변환 $T$·상·일대일·역변환, 야코비안의 정의 7, 정리 9의 서술 — 대응 없음 (교안에는 개념 서술 블록이 없고 풀이 안에서 공식만 씀)
- 예제 1처럼 변환을 스스로 설계하거나 주어진 영역의 상을 추적하는 유형, 예제 4의 구면좌표 부피소 유도 — 대응 없음
(b) 공통과제 (§15.9, 3차)
제출 문항: 19, 21, 26, 27, 29, 31 / 학습 참고: 7–10, 11–16, 17–22, 23(a), 25–30, 31
(c) 이웃 절 — 이전: §15.8 구면좌표에서의 삼중적분 / 다음: §16.1 벡터장
(a) Corresponding lecture notes — Calculus II, Unit 09 and Unit 10
- Double integrals evaluated by a change of variables — ex06, yu06, pr20 (partial match: only computations in which the transformation is supplied)
- Triple integrals and the $3\times3$ Jacobian — ex05, yu05-1, yu05-2 (partial match)
- The transformation $T$, images, one-to-one maps and inverses, Definition 7 and the statement of Theorem 9 — no match (the lecture notes carry no expository blocks and only use the formulas inside solutions)
- Designing a transformation oneself or tracking the image of a given region, as in Example 1, and the derivation of the spherical volume element in Example 4 — no match
(b) Assignment (§15.9, third set)
Problems to submit: 19, 21, 26, 27, 29, 31 / Recommended practice: 7–10, 11–16, 17–22, 23(a), 25–30, 31
(c) Neighboring sections — Previous: §15.8 Triple Integrals in Spherical Coordinates / Next: §16.1 Vector Fields